Ｔａｙｌｏｒ展開 ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ2/２＋ｘ3/３−・・・ （−１≦ｘ≦１）から、ｘ＝１とおけば、
１−１/２＋１/３−１/４＋・・・＝ｌｏｇ２
が得られるが、 １−１/３＋１/５−１/７＋・・・＝π/４ も示すことを考えれば、次の複素数
関数のＴａｙｌｏｒ展開
ｌｏｇ（１＋ｚ）＝ｚ−ｚ2/２＋ｚ3/３−ｚ4/４＋・・・ （｜ｚ｜≦１）
を考える方が効率的だろう。上式で、ｚ＝ｉ とおくと、
左辺＝ｌｏｇ（１＋ｉ）＝ｌｏｇ
ｅπｉ/4＝（１/２）ｌｏｇ２＋πｉ/４右辺＝（１/２−１/４＋１/６−１/８＋・・・）＋ｉ（１−１/３＋１/５−１/７＋・・・）
よって、実数部、虚数部を比較して、
１/２−１/４＋１/６−１/８＋・・・＝（１/２）ｌｏｇ２
すなわち、 １−１/２＋１/３−１/４＋・・・＝ｌｏｇ２
また、 １−１/３＋１/５−１/７＋・・・＝π/４ も明らか。
