・無限級数2                         S.H氏

 Taylor展開 log(1+x)=x−x2/2+x3/3−・・・ (−1≦x≦1)から、x=1とおけば、

   1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2

が得られるが、 1−1/3+1/5−1/7+・・・=π/4 も示すことを考えれば、次の複素数
関数のTaylor展開

   log(1+z)=z−z2/2+z3/3−z4/4+・・・ (|z|≦1)

を考える方が効率的だろう。上式で、z=i とおくと、

 左辺=log(1+i)=logπi/4=(1/2)log2+πi/4

 右辺=(1/2−1/4+1/6−1/8+・・・)+i(1−1/3+1/5−1/7+・・・)

 よって、実数部、虚数部を比較して、

  1/2−1/4+1/6−1/8+・・・=(1/2)log2

 すなわち、 1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2

 また、 1−1/3+1/5−1/7+・・・=π/4 も明らか。

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