整数ｎに対し、ｎと互いに素である個数（一般にオイラーのtotient function Φ(n))とｎの約
数の和(一般にσ(n))では、互いに反する概念と思ってしまう。
例
ｎ ： Φ(n) ： σ(n)
---------------------------------------
1 ： 1 ： 1
2 ： 1 ： 3
3 ： 2 ： 4
4 ： 2 ： 7
5 ： 4 ： 6
6 ： 2 ： 12
7 ： 6 ： 8
8 ： 4 ： 15
9 ： 6 ： 13
10 ： 4 ： 18
11 ： 10 ： 12
12 ： 4 ： 28
13 ： 12 ： 14
･････････････････
ところが、M=Φ(n)・σ(n)/n2 の値は、どんな ｎ（＞１）に対しても
6/π2(=0.60792･･･)＜M＜1
である記事を読んで驚いた。
（結構狭い範囲に収まっており、お互い無関係にあるのではなく、お互いの縛りに拘束されている。）
そこで、ｎが、1〜1000000 であるとき、最も最小になるｎを求め、その最小値がいくつであ
るか探してほしい。私の拙いプログラムと１０年前のコンピュータで探していたので、できた
らｎのもっと広い範囲での結果が知りたいです。
らすかるさんが考察されました。（平成２６年４月６日付け）
わかりやすくするために、ｎの素因数を３つとして、ｎ = ap・bq・cr とすると
φ(n) = n(1-1/a)(1-1/b)(1-1/c) = n(a-1)(b-1)(c-1)/(abc)
σ(n) = （ap+1-1）（bq+1-1）（cr+1-1）/{(a-1)(b-1)(c-1)}
なので、 φ(n)σ(n)/n2=（ap+1-1）（bq+1-1）（cr+1-1）/(nabc)
=（ap+1-1）（bq+1-1）（cr+1-1）/（ap+1・bq+1・cr+1）
=（1-1/ap+1）（1-1/bq+1）（1-1/cr+1）
よって、φ(n)σ(n)/n2 が小さくなるのは、素因数が小さく、かつ素因数が1つずつの場合な
ので、100万まででは、ｎ = 2・3・5・7・11・13・17 = 510510 のときの
(1-1/4)(1-1/9)(1-1/25)(1-1/49)(1-1/121)(1-1/169)(1-1/289)
= 127401984/206841635 = 0.61593974…
が最小になると思います。逆に、大きくなるのは大きい素因数一つの場合で、ｎが素数なら
ば、φ(n)σ(n)/n2 = 1-1/n2 となりますので、100万まででは、n = 999983 のときの
1-1/9999832 = 0.99999982… = 0.99999999999899996599…
が最大になりますね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年４月７日付け）
長くコンピュータを働かせ、やっと手に入れていた数字が魔法にかかったようにピッタリと
同じように、この簡潔な推論の運びで出ていることに感激です。式の一つ一つは見たことが
あるが、これらをこの様に組み合わせていくことで、力任せに突進するより遙かに本質に迫
れる景色が見えてきます。（6/π2が使われる理由がわかりました。）
らすかるさんはプロのプログラマーのような方であると想像しますが、何でもかんでもコン
ピュータとならない思考方法との併用なので、まさに”鬼に金棒”です。せめて綿棒は使える
ように精進します。
