１/２４３を小数展開すると、（「WolframAlpha」を利用）
0.00411522633744855967078189300411522633744855967078189300411522633744855967
078189300411522633744855967078189300411522633744855967078189300411522633744
855967078189300411522633744855967078189300411522633744855967078189300411522
633744855967078189300411522633744855967078189300411522633744855967078189300
411522633744855967078189300411522633744855967078189300411522633744855967078
189300411522633744855967078189300411522633744855967078189300411522633744855
967078189300411522633744855967078189300411522633744855967078189300411522633
744855967078189300411522633744855967078189300411522633744855967078189300411
522633744855967078189300411522633744855967078189300411522633744855967078189
300411522633744855967078189300411522633744855967078189300411522633744855967
078189300411522633744855967078189300411522633744855967078189300411522633744
855967078189300411522633744855967078189300411522633744855967078189300411522
63374485596707818930041152263374485596707818930041152263374485596707818930...
この小数展開を眺めていると、先頭の「０．」を除いて、
００４→１１５→２２６→３３７→４４８→５５９→・・・
と規則的に並んでいることがわかる。もちろん、分数は必ず循環小数となり、その循環節は、
００４１１５２２６３３７４４８５５９６７０７８１８９３ （上記で赤字の部分）
であるが、 ６７０は、６６０＋１０ と考えられ、以下、７８１は、７７０＋１１、８９３は、
８８０＋１２＋１で、その「＋１」は、次の「００４」を、９９０＋１３＋１＝１００４と考えれば、循環
節のまとまりを超えて、この規則性は未来永劫続くような雰囲気である。
１１５ ・・・ １０００＋１００＋１４＋１＝１１１５ → 先頭の「１」は前に繰り上がり。
２２６ ・・・ １１００＋１１０＋１５＋１＝１２２６ → 先頭の「１」は前に繰り上がり。
なぜ、１/２４３にこのような不思議な性質があるのだろう。とても興味深い。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年４月５日付け）
上記話題を考察したところ、どうやらこのような性質を持つ数はいくらでも作れるようです。
カラクリも解けましたが、いきなり種明かしも面白くないのでこんな感じに紹介。
(1) 任意のレピュニット（全ての桁が1である自然数）を用意します。
(2) それを素因数分解します。
(3) 出てきた素数のいくつかを任意に選び出します。ただし素因数に3がある場合は必ず全
て含めてください。
※ある程度多めに選んだ方がわかりやすい結果になりやすいです。
(4) それらを掛け合わせます。
(5) さらに81を掛けます。
(6) その逆数を小数表示すると……。
例：111=3×37で必須な3だけ選んで、3×81の逆数が、1/243=0.004115226337448559……
11111=41×271から41だけ選んで、41×81の逆数が、
1/3321=0.000301114122252333634447455585……
同じ11111から271の方を選べば、271×81の逆数が、
1/21951=0.000045556011115666712222677782……
111111=3×7×11×13×37で必須な3の他に11と37を選んで、3×11×37=1221、
1221×81の逆数が、1/98901=0.000010111121222232333343444454555565666676777787……
特に、(4)での値がもとのレピュニットと9を法として合同になっている場合は素直な感じに
なりますね。
（コメント） な〜るほど！そんな風に簡単に作れるんですか．．．。DD++さんに感謝します。
１/２４３の不思議な性質を、漸化式を活用して考察してみました。
上記の性質を精査すると、整数列 ａ1，ａ2，ａ3，・・・ において、条件
ａ1＝４ 、 ａｎ+1−ａｎ＝１１１ （ｎ＝１、２、３、・・・）
を満たすものを考えると、Ｆ＝１/２４３＝ａ1/１０3＋ａ2/１０6＋ａ3/１０9＋・・・ と書けることを
意味する。
漸化式 ａ1＝４ 、 ａｍ−ａｎ＝１１１ を解けば、 ａｎ＝４＋１１１（ｎ−１）＝１１１ｎ−１０７
したがって、
Ｆ＝Σn=1〜∞ ａn/１０3n＝Σn=1〜∞ (１１１ｎ−１０７)/１０3n
＝１１１Σn=1〜∞ ｎ/１０3n−１０７Σn=1〜∞ １/１０3n
ここで、 Σn=1〜∞ １/１０3n＝（１/１０3）/（１−（１/１０3））＝１/（１０3−１）＝１/９９９
また、Ｓｎ＝Σｋ=1〜ｎ ｋ/１０3ｋ とおくと、（１/１０3）Ｓｎ＝Σｋ=1〜ｎ ｋ/１０3(ｋ+1) なので、
（１−（１/１０3））Ｓｎ＝Σｋ=1〜ｎ １/１０3ｋ−ｎ/１０3(ｋ+1)
ｎ→∞ のとき、ｎ/１０3(ｋ+1)→０ なので、 （９９９/１０3）Σn=1〜∞ ｎ/１０3n＝１/９９９
よって、 Σn=1〜∞ ｎ/１０3n＝１０００/（９９９）2
このとき、 Ｆ＝１０００/（９９９・９）−１０７/９９９＝３７/（９９９・９）
ここで、 １１１＝３７・３ なので、 Ｆ＝１/（３・８１）＝１/２４３
（コメント） 上の計算から分かるように、DD++さんが指摘されている通り、１１１の素因数分
解の有り様が、問題の本質みたいですね！
攻略法さんが考察されました。（平成２６年４月６日付け）
DD++さんの例「111=3×37、1/243=37/(9×999)」について、111=3×37 より、必須な3だけ
選んで（消し線）、(
（↑ (1が並ぶ数)/(81×(1が並ぶ数))）
他の例 111111=3×7×11×13×37 より、必須な3の他に11,37を選んで、
(
（↑ (1が並ぶ数)/(81×(1が並ぶ数))）
「 数字の並び」について、循環小数に着目して、
= 0.004 115 226 337 448 559 670 781 893 004 115 226 337 …
= 0.000 111 222 333 444 555 666 777 889 000 111 222 333 …
+ 0.004 004 004 004 004 004 004 004 004 004 004 004 004 …=1/8991 + 4/999
111に着目して、
= 0.000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 …
00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 …
┌ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 …
└ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 …
-------------------------------------------------------------------------------------------------
0.004 115 226 337 448 559 670 781 892 1004 1114 1225 1336 1447 1558 1669 1780 1891 2002 2113 …
└┘ └┘ └┘ └┘ └┘ └┘ └┘ └┘ └┘ └┘ └┘
=100/999^2 ← kの倍数 3桁のとき、k/999^2
+ 10/999^2
+ 1/999^2
+ 4/999
=111/999^2 + 4/999 ← 1/8991 + 4/999
=111/999^2 + (4×999)/999^2
=(1 + 4×9)×111/999^2
=(1 + 4×9)/(9×999)
=37/(9×999) ← 111=3×37より、必須な3だけ選んで！
攻略法さんからのコメントです。（平成２６年４月７日付け）
1/81=0.{012345679} は、x=1/10 として、0x+1x2+2x3+3x4+4x5+ … + (k-1)xk+ … とみること
ができる。
実際に、f（ｘ）=0x+1x2+2x3+3x4+4x5+ … + (k-1)xk+ … とする。
f（ｘ）=0x+1x2+2x3+3x4+4x5+ …
- xf（ｘ）= 0x2+1x3+2x4+3x5+4x6+ …
------------------------------------------
(1-x)f（ｘ）= x2+x3+x4+x5+…
より、 (1-x)f（ｘ）=-x+(x+x2+x3+x4+x5+…)=-x+x/(1-x)=x2/(1-x)
よって、f（ｘ）=x2/(1-x)2 なので、x=1/10を代入して、f（ｘ）=1/81
「1/243=111/999^2+4/999」について、簡単な場合で、1/81
この構図に、100+10+1=111(1が並ぶ数)と4（0.004に相当）のげたを履かせた形でしょうか。
ＡＢＣＤＥＦさんからのコメントです。（平成２６年４月７日付け）
10進法をｐ進法にして、どんなときに同様のことが起こるか調べてみました。「同様のこと」
を狭く解釈して次のようにします。
自然数Nの逆数をｐ進法で表したとき、0.00a11b22c････の形になる。
ただし、a+1=b、b+1=c、････ で、ａ、ｂ、ｃはｐ進法で1桁の正の数とする。
ａ、ｂ、ｃ、･･･はすぐに2桁以上になるけど、少なくとも3個は1桁であるとし、あとは、1/243の
場合と同様に繰り上がりは生じるが同じ規則は続くとする。
0.00a11b22c･･･＝0.00a00a00a･･･+0.111222333･･･ で、
0.00a00a00a･･･＝a/((p2+p+1)(p-1)) 、0.111222333･･･＝1/((p2+p+1)(p-1)2)
であるから、 0.00a11b22c･･･＝((p-1)a+1)/((p2+p+1)(p-1)2)
これらは、 1+x+x2+･･･＝1/(1-x) と x+2x2+3x3+･･･＝x/(1-x)2 から出る。
((p-1)a+1)/((p2+p+1)(p-1)2) が1/Nの形になることから、分子が分母で割り切れないとい
けないが、(p-1)a+1とp-1は互いに素だから、(p-1)a+1がp2+p+1で割り切れないといけない。
pの整式と見て、a2(p2+p+1)を(p-1)a+1で割り算をすると、余りは、3a2-3a+1 であるから、
(p-1)a+1は、3a2-3a+1で割り切れないといけない。
(p-1)a+1＝3a2-3a+1となる場合を調べると、 p=3a-2 、a=(p+2)/3
p≡1 (mod 3) のとき、a=(p+2)/3 とすれば、 ((p-1)a+1)/((p2+p+1)＝3 となるので、
((p-1)a+1)/((p2+p+1)(p-1)2)＝1/(3(p-1)2) となり、「同様のこと」が成り立つ。
p≡1 (mod 3) のとき、a=(p+2)/3、N＝3(p-1)2 とすれば、1/Nをp進法で表すと、
0.00a11b22c････ の形になる。ただし、a+1=b、b+1=c、････ である。
p=1 はもちろん駄目だけど、p=4 も 0.002113224･･･＝0.002113230･･･ となるので、最初の
前提から駄目、あとは大丈夫。
p=7 なら、a=3、N=108=213(7) 、p=10 なら、a=4、N=243 で、これが「1/243の不思議」
さて、上記のもの以外にあるかどうかですがなさそうです。
p-1≧a だから、3{(p-1)a+1}≧3(a2+1)＞3a2-3a+1 なので、(3a2-3a+1)/((p-1)a+1)が1以外の
整数になるなら、「2」しかないが、3a2-3a+1は奇数だからありえない。
「同様のこと」が成り立つのは、
p≡1 (mod 3) 、a=(p+2)/3 、N＝3(p-1)2 のときに限る。ただし、p≧7
（コメント） 冒頭のちょっとした話題から、こんな風に一般化された内容に深化するのを見る
のは、まさに、筑波大附属駒場高校での数学の授業を彷彿させます。ＡＢＣＤＥＦさ
んに感謝します。
