F1(x)＝1/(1-ｘ) =1 + ｘ + ｘ2 + ｘ3 + ｘ4 + ｘ5 + ｘ6 + ｘ7 + ｘ8 + ｘ9 + ｘ10 + ｘ11 + ･･･
で、各係数を取り出すと、Vec(1/(1-ｘ))= [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,･･･]
の関係となり、これを利用すると、(F1(ｘ))’=(1/(1-ｘ))’=1/(1-ｘ)2 （「’」は微分の演算）
1+2ｘ+3ｘ2+4ｘ3+5ｘ4+6ｘ5+7ｘ6+8ｘ7+9ｘ8+10ｘ9+11ｘ10+･･･
よって、 Vec(1/(1-ｘ)2)= [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,･･･] から、
自然数の母関数として、1/(1-ｘ)2 が産みの母とみれる。そこで、
F2(ｘ)=ｘ/(1-ｘ)2=ｘ+2ｘ2+3ｘ3+4ｘ4+5ｘ5+6ｘ6+7ｘ7+8ｘ8+9ｘ9+10ｘ10+･･･
の関係式を利用すると、
(F2(ｘ))’=(ｘ/(1-ｘ)2)’
=(1+ｘ)/(1-ｘ)3=1+22ｘ+32ｘ2+42ｘ3+52ｘ4+62ｘ5+72ｘ6+82ｘ7+92ｘ8+102ｘ9+･･･
よって、
Vec((1+ｘ)/(1-ｘ)3)= [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256,･･･]
から、平方数の母関数として、(1+ｘ)/(1-ｘ)3 が産みの母とみれる。そこで、同じように、
F3(ｘ)=ｘ(1+ｘ)/(1-ｘ)3=ｘ+22ｘ2+32ｘ3+42ｘ4+52ｘ5+62ｘ6+72ｘ7+82ｘ8+92ｘ9+102ｘ10+･･･
この関係式から、
(F3(ｘ))’=(ｘ(1+ｘ)/(1-ｘ)3)’=(1+4ｘ+ｘ2)/(1-ｘ)4
=1+23ｘ+33ｘ2+43ｘ3+53ｘ4+63ｘ5+73ｘ6+83ｘ7+93ｘ8+103ｘ9+･･･
よって、Vec((1+4ｘ+ｘ2)/(1-ｘ)4)
= [1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375,･･･]
から、立方数の母関数として、(1+4ｘ+ｘ2)/(1-ｘ)4 が産みの母となる。
以下、この考え方を繰り返すことにより、
四乗数[1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561,･･･]
の母関数が、(1+ｘ)(1+10ｘ+ｘ2)/(1-ｘ)5
五乗数[1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832,･･･]
の母関数が、(1+26ｘ+66ｘ2+26ｘ3+ｘ4)/(1-ｘ)6
六乗数[1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561,･･･]
の母関数が、(1+ｘ)(1+56ｘ+246ｘ2+56ｘ3+ｘ4)/(1-ｘ)7
七乗数[1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000,･･･]
の母関数が、(1+120ｘ+1191ｘ2+2416ｘ3+1191ｘ4+120ｘ5+ｘ6)/(1-ｘ)8
八乗数[1, 256, 6561, 65536, 390625, 1679616, 5764801, 16777216, 43046721, 100000000,･･･]
の母関数が、(1+ｘ)(1+246ｘ+4047ｘ2+11572ｘ3+4047ｘ4+246ｘ5+ｘ6)/(1-ｘ)9
･･･････････
と見つかっていく。この様に、いろいろな数列を一気に産み出せる母関数を探し出すことは
とても興味が湧きました。他にも興味ある母関数を御存知なら情報お願いします。
Ｓ（Ｈ）さんからの情報です。（平成２６年４月４日付け）
「GENERATING FUNCTIONS」 、「Generating Functions」 、「Algebraic Enumeration」
et cetera
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年４月４日付け）
母関数についての情報を頂いて調べている中で、勝手に自分で弄っていたら、次のことが
起こったので、これが正しいのか判断を仰ぎたい。
x-x2/2!+x3/3!-x4/4!+x5/5!-x6/6!+････ の母関数が、F(x)=1-1/ex=1-e-x であり、その逆関
数が、
G(x)=x+x2/2+x3/3+x4/4+x5/5+x6/6+････
になることから、G(F(x))=x （または、F(G(x))=x)が成立する。
従って、G(F(1))=1 から、G(1-1/e)=1 即ち、次の式が成立する。こんな等式ってありですか？
(1-1/e)+(1-1/e)2/2+(1-1/e)3/3+(1-1/e)4/4+(1-1/e)5/5+(1-1/e)6/6+････=1
DD++さんからのコメントです。（平成２６年４月４日付け）
-log(1-x) のマクローリン展開に、x=1-1/e を代入したものなのですから、-log(1-(1-1/e))
すなわち、1になる、であってると思います。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年４月４日付け）
そんな背景になっていたのですか！だったら、
(1-1/e)+(1-1/e)2/2+(1-1/e)3/3+(1-1/e)4/4+････････････････=1
(1-1/e2)+(1-1/e2)2/2+(1-1/e2)3/3+(1-1/e2)4/4+・・・・・・････=2
・・・・・・・・
(1-1/en)+(1-1/en)2/2+(1-1/en)3/3+(1-1/en)4/4+・・・・・・・・･･･=n
もＯＫですよね。その他にも興味を引いた母関数として、
三角数：1/(1-x)3= 1 + 3x + 6x2 + 10x3 + 15x4 + 21x5 + ･･･
Vec(%)= [1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136]
四角数：(1+x)/(1-x)3= 1 + 4x + 9x2 + 16x3 + 25x4 + 36x5 + ･･･
Vec(%)= [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256]
五角数：(1+2x)/(1-x)3= 1 + 5x + 12x2 + 22x3 + 35x4 + 51x5 + ･･･
Vec(%)= [1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376]
六角数：(1+3x)/(1-x)3= 1 + 6x + 15x2 + 28x3 + 45x4 + 66x5 + ･･･
Vec(%)= [1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496]
パスカルの三角形：1/(1-tx-x)= 1 + (t + 1)x + (t2 + 2t + 1)x2 + (t3 + 3t2 + 3t + 1)x3 + ･･･
Vec(%)= [1, t + 1, t2 + 2t + 1, t3 + 3t2 + 3t + 1, ・・・]
フィボナッチ数列：1/(1-x-x2)= 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 8x5 + ･･･
Vec(%)= [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987]
フィボナッチ数列-1：1/(1-2x+x3)= 1 + 2x + 4x2 + 7x3 + 12x4 + 20x5 + 33x6 + ･･･
Vec(%)= [1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583]
フィボナッチ数列+1：(1-2x2)/((1-x)(1-x-x2))= 1 + 2x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 6x5 + ･･･
Vec(%)= [1, 2, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611]
が面白かったです。
