・母関数への興味                        GAI 氏

 F1(x)=1/(1-x) =1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + ・・・

で、各係数を取り出すと、Vec(1/(1-x))= [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,・・・]

の関係となり、これを利用すると、(F1(x))’=(1/(1-x))’=1/(1-x)2 (「’」は微分の演算)

 1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5+7x6+8x7+9x8+10x9+11x10+・・・

よって、 Vec(1/(1-x)2)= [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,・・・] から、

自然数の母関数として、1/(1-x)2 が産みの母とみれる。そこで、

   F2(x)=x/(1-x)2=x+2x2+3x3+4x4+5x5+6x6+7x7+8x8+9x9+10x10+・・・

の関係式を利用すると、

 (F2(x))’=(x/(1-x)2)’
      =(1+x)/(1-x)3=1+22x+322+423+524+625+726+827+928+1029+・・・

よって、

  Vec((1+x)/(1-x)3)= [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256,・・・]

から、平方数の母関数として、(1+x)/(1-x)3 が産みの母とみれる。そこで、同じように、

  F3(x)=x(1+x)/(1-x)3=x+222+323+424+525+626+727+828+929+10210+・・・

 この関係式から、

(F3(x))’=(x(1+x)/(1-x)3)’=(1+4x+x2)/(1-x)4
     =1+23x+332+433+534+635+736+837+938+1039+・・・

 よって、Vec((1+4x+x2)/(1-x)4)
     = [1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375,・・・]

から、立方数の母関数として、(1+4x+x2)/(1-x)4 が産みの母となる。

 以下、この考え方を繰り返すことにより、

四乗数[1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561,・・・]

の母関数が、(1+x)(1+10x+x2)/(1-x)5

五乗数[1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832,・・・]

の母関数が、(1+26x+66x2+26x3+x4)/(1-x)6

六乗数[1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561,・・・]

の母関数が、(1+x)(1+56x+246x2+56x3+x4)/(1-x)7

七乗数[1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000,・・・]

の母関数が、(1+120x+1191x2+2416x3+1191x4+120x5+x6)/(1-x)8

八乗数[1, 256, 6561, 65536, 390625, 1679616, 5764801, 16777216, 43046721, 100000000,・・・]

の母関数が、(1+x)(1+246x+4047x2+11572x3+4047x4+246x5+x6)/(1-x)9

  ・・・・・・・・・・・

と見つかっていく。この様に、いろいろな数列を一気に産み出せる母関数を探し出すことは
とても興味が湧きました。他にも興味ある母関数を御存知なら情報お願いします。


 S(H)さんからの情報です。(平成26年4月4日付け)

 「GENERATING FUNCTIONS」 、「Generating Functions」 、「Algebraic Enumeration
 et cetera


 GAI さんからのコメントです。(平成26年4月4日付け)

 母関数についての情報を頂いて調べている中で、勝手に自分で弄っていたら、次のことが
起こったので、これが正しいのか判断を仰ぎたい。

 x-x2/2!+x3/3!-x4/4!+x5/5!-x6/6!+・・・・ の母関数が、F(x)=1-1/ex=1-e-x であり、その逆関
数が、
    G(x)=x+x2/2+x3/3+x4/4+x5/5+x6/6+・・・・

になることから、G(F(x))=x (または、F(G(x))=x)が成立する。

 従って、G(F(1))=1 から、G(1-1/e)=1 即ち、次の式が成立する。こんな等式ってありですか?

  (1-1/e)+(1-1/e)2/2+(1-1/e)3/3+(1-1/e)4/4+(1-1/e)5/5+(1-1/e)6/6+・・・・=1


 DD++さんからのコメントです。(平成26年4月4日付け)

 -log(1-x) のマクローリン展開に、x=1-1/e を代入したものなのですから、-log(1-(1-1/e))
すなわち、1になる、であってると思います。


 GAI さんからのコメントです。(平成26年4月4日付け)

そんな背景になっていたのですか!だったら、

(1-1/e)+(1-1/e)2/2+(1-1/e)3/3+(1-1/e)4/4+・・・・・・・・・・・・・・・・=1
(1-1/e2)+(1-1/e2)2/2+(1-1/e2)3/3+(1-1/e2)4/4+・・・・・・・・・・=2
  ・・・・・・・・
(1-1/en)+(1-1/en)2/2+(1-1/en)3/3+(1-1/en)4/4+・・・・・・・・・・・=n

もOKですよね。その他にも興味を引いた母関数として、

三角数:1/(1-x)3= 1 + 3x + 6x2 + 10x3 + 15x4 + 21x5 + ・・・
Vec(%)= [1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136]

四角数:(1+x)/(1-x)3= 1 + 4x + 9x2 + 16x3 + 25x4 + 36x5 + ・・・
Vec(%)= [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256]

五角数:(1+2x)/(1-x)3= 1 + 5x + 12x2 + 22x3 + 35x4 + 51x5 + ・・・
Vec(%)= [1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376]

六角数:(1+3x)/(1-x)3= 1 + 6x + 15x2 + 28x3 + 45x4 + 66x5 + ・・・
Vec(%)= [1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496]

パスカルの三角形:1/(1-tx-x)= 1 + (t + 1)x + (t2 + 2t + 1)x2 + (t3 + 3t2 + 3t + 1)x3 + ・・・
Vec(%)= [1, t + 1, t2 + 2t + 1, t3 + 3t2 + 3t + 1, ・・・]

フィボナッチ数列:1/(1-x-x2)= 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 8x5 + ・・・
Vec(%)= [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987]

フィボナッチ数列-1:1/(1-2x+x3)= 1 + 2x + 4x2 + 7x3 + 12x4 + 20x5 + 33x6 + ・・・
Vec(%)= [1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583]

フィボナッチ数列+1:(1-2x2)/((1-x)(1-x-x2))= 1 + 2x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 6x5 + ・・・
Vec(%)= [1, 2, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611]

が面白かったです。


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