ｎを正の整数とする。分数列
ｎ/１，（ｎ＋１）/２，（ｎ＋２）/３，（ｎ＋３）/４，（ｎ＋４）/５，（ｎ＋５）/６，・・・
において、分数のうち整数になるものの個数がちょうど３個であるという。
このようなｎはどのような数か答えよ。
（出典：財団法人 日本数学検定協会「数学甲子園２０１２」 予選問題）
職場の机を整理していたら、ちょっと面白そうな問題が出てきたので、考えてみた。
分数列の第ｋ項は、（ｎ＋ｋ−１）/ｋ （ｋ＝１、２、・・・）で、分数列は、単調に減少する。
実際に、（ｎ＋ｋ−１）/ｋ−（ｎ＋ｋ）/（ｋ＋１）＝（ｎ−１）/ｋ（ｋ＋１）≧０ から、
（ｎ＋ｋ−１）/ｋ≧（ｎ＋ｋ）/（ｋ＋１）
上記の数列の項に１が出現するのは、ｎ＝１の場合のみ。このとき、数列の各項はすべて
１となる。
実際に、（ｎ＋ｋ−１）/ｋ＝１ とすると、 ｎ＋ｋ−１＝ｋ すなわち、 ｎ＝１
よって、題意を満たすためには、３個の整数の最小値は、２以上となる。
そこで、 （ｎ＋ｋ−１）/ｋ＝２ とすると、 ｋ＝ｎ−１（≧１） より、 ｎ≧２ となる。
ｎ＝２、３ のとき、明らかに不適。
ｎ＝４ のとき、ｋ＝３ で、分数列は、
４，５/２，２，・・・ となり、題意を満たさない。
ｎ＝５ のとき、ｋ＝４ で、分数列は、
５，３，７/３，２，・・・ となり、題意を満たす。
ｎ＝６ のとき、ｋ＝５ で、分数列は、
６，７/２，８/３，９/４，２，・・・ となり、題意を満たさない。
ｎ＝７ のとき、ｋ＝６ で、分数列は、
７，４，３，５/２，１１/５，２，・・・ となり、題意を満たさない。
ｎ＝８ のとき、ｋ＝７ で、分数列は、
８，９/２，１０/３，１１/４，１２/５，１３/６，２，・・・ となり、題意を満たさない。
ｎ＝９ のとき、ｋ＝８ で、分数列は、
９，５，１１/３，３，１３/５，７/３，１５/７，２，・・・ となり、題意を満たさない。
ｎ＝１０ のとき、ｋ＝９ で、分数列は、
１０，１１/２，４，１３/４，１４/５，５/２，１６/７，１７/８，２，・・・ となり、題意を満たす。
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以上の試算から、ｎ＝５、１０、・・・ で題意を満たすことが分かった。このことから、試しに、
「ｎは５の倍数？」と予想を立ててみたところ、この予想は見事に裏切られてしまった！
実際に、ｎ＝１５ のとき、ｋ＝１４ で、分数列は、
１５，８，１７/３，９/２，１９/５，１０/３，３，１１/４，２３/９，１２/５，２５/１１，１３/６，２７/1３，２，・・・
となり、題意を満たさないことが分かる。
問題の問いかけでは、「このようなｎはどのような数か答えよ。」とあるので、多分答えは無
数にあって、しかも式でしっかり書き上げることが出来る数なのだろう。
ｎを求めるためには、どうやら上記の計算ではなく発想の転換が必要なようだ。
（解） 分数列の第ｋ項 （ｎ＋ｋ−１）/ｋ＝ｍ とすると、 ｎ＋ｋ−１＝ｍｋ
このとき、 ｎ−１＝ｋ（ｍ−１） を満たすような正の整数の組（ｍ，ｋ）が、ちょうど３個存在
するようなｎを求めればよい。
ここで、ｍ＝１とすると、ｎ＝１ （ｋは任意）となり、題意に反するので不適。
よって、ｍ≧２ としてよい。このとき、ｎ−１≧１ で、ｎ≧２ である。
ｎ−１＝ｋ（ｍ−１） から、ｋは、ｎ−１の約数。
よって、ｎ−１の約数がちょうど３個存在すればいい。
例えば、ｎ＝５ の場合、ｎ−１＝４で、正の約数は１，２，４の３個。
つまり、ｎ−１＝１×４， ２×２， ４×１ より、（ｍ，ｋ）＝（５，１），（３，２），（２，４） で、
ちょうど３組となる。
正の約数がちょうど３個になるのは、３が素数なので、積の法則から、
ｎ−１＝ｐ2 （ｐ：素数） すなわち、 ｎ＝ｐ2＋１ （ｐ：素数）
のときに限る。
ＡＢＣＤＥＦさんにも解いて頂きました。（平成２６年３月２５日付け）
(ｎ＋ｋ)/(ｋ＋１)＝ｍ (ｍは整数) となるような負でない整数ｋの個数がちょうど３個である
ようなｎを求めればよい。
ｎ＋ｋ＝ｍｋ＋ｍ より、 ｍｋ＋ｍ−ｋ＝ｎ すなわち、 (ｍ−１)(ｋ＋１)＝ｎ−１
ｋ＋１は、ｎ−１の約数であるから、ｎ−１の正の約数の個数がちょうど３個であればいい。
ｎ−１が２個以上の素因数をもてば、そのうちの２つを、ｐ、ｑとすれば、1、ｐ、ｑ、ｐｑは、ｎ−１
の正の約数だから条件を満たさない。従って、ｎ−１の素因数は１個で、ｐeである。これの正
の約数は、ｅ＋１個であるから、ｅ＝２、ｎ−１＝ｐ2 より、 ｎ＝ｐ2＋１ (ｐは素数)
※ ｐ＝２、３、５、７、・・・ のとき、 ｎ＝５、１０、２６、５０、・・・
