・ある錯覚 GAI 氏
ζ(2)=1+1/22+1/32+・・・+1/n2+・・・=π2/6 に対し、
1+1/32+1/52+1/72+1/92+1/112+・・・=π2/8 なので、
1/22+1/42+1/62+1/82+1/102+・・・=π2/6-π2/8=π2/24
従って、Σ(1/奇数2)=(3/4)ζ(2) 、Σ(1/偶数2)=(1/4)ζ(2) より、
Σ(1/奇数2) : Σ(1/偶数2) = 3 : 1
また、ζ(3)=1/13+1/23+1/33+・・・+1/n3+・・・ に対しても、
1/13+1/33+1/53+1/73+1/93+・・・=ζ(3)-(1/23)ζ(3)=(7/8)ζ(3)
これから、 Σ(1/奇数3)=(7/8)ζ(3) 、 Σ(1/偶数3)=(1/8)ζ(3)
これから、 Σ(1/奇数3) : Σ(1/偶数3) = 7 : 1
以下同様、 Σ(1/奇数4)=(15/16)ζ(4) 、Σ(1/偶数4)=(1/16)ζ(4)
これから、 Σ(1/奇数4) : Σ(1/偶数^4) = 15 : 1
Σ(1/奇数5)=(31/32)ζ(5) 、Σ(1/偶数5)= (1/32)ζ(5)
これから、 Σ(1/奇数5) : Σ(1/偶数5) = 31 : 1
Σ(1/奇数6)=(63/64)ζ(6) 、Σ(1/偶数6)=(1/64)ζ(6)
これから、 Σ(1/奇数6) : Σ(1/偶数6) = 63 : 1
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この結果に辿り着いたとき、一瞬有り得ぬだろうという感情が湧き起こりました。それは奇
数と偶数は平等に存在しており、2つの合計には大差は起きないという先入観でした。しかし
冷静に考えると、考えているのはその冪での逆数であり、冪が大きければ大きいほど加えて
いく数字は小さいものになっていく。
したがって、一番大きな1が入るか入らないかが全体の和に及ぼす値に決定的な影響を与
えるという事実でした。
いつの間にか日常での意識が定着し、逆数という世界になると全く様相が一変することが
起きていることに改めて認識を新たにしたことでした。
KSさんからのコメントです。(平成26年3月21日付け)
数列 3,7,15,31,63,・・・ は、階差が2の巾になっていますが、この先はどうでしょ
うか?
GAI さんからのコメントです。(平成26年3月21日付け)
この先も一般に、Σ1/(奇数)n : Σ1/(偶数)n = 2nー1 : 1 の関係は成立していきま
す。