・ある錯覚　 　　　　　 　 　 　 　 　　 　 　　 　　　ＧＡＩ 氏

　ζ(2)=1+1/2²+1/3²+･･･+1/n²+･･･=π²/6　に対し、

　1+1/3²+1/5²+1/7²+1/9²+1/11²+･･･=π²/8　なので、

　1/2²+1/4²+1/6²+1/8²+1/10²+･･･=π²/6-π²/8=π²/24

従って、Σ(1/奇数²)=（3/4）ζ(2)　、Σ(1/偶数²)=（1/4）ζ(2)　より、

　　Σ(1/奇数²) ： Σ(1/偶数²) = 3 ： 1

また、ζ(3)=1/1³+1/2³+1/3³+･･･+1/n³+･･･　に対しても、

　　1/1³+1/3³+1/5³+1/7³+1/9³+･･･=ζ(3)-（1/2³）ζ(3)=（7/8）ζ(3)

これから、　Σ(1/奇数³)=（7/8）ζ(3)　、　Σ(1/偶数³)=（1/8）ζ(3)

これから、　Σ(1/奇数³) ： Σ(1/偶数³) = 7 ： 1

以下同様、　Σ(1/奇数⁴)=（15/16）ζ(4)　、Σ(1/偶数⁴)=（1/16）ζ(4)

これから、　Σ(1/奇数⁴) ： Σ(1/偶数^4) = 15 ： 1

　Σ(1/奇数⁵)=（31/32）ζ(5)　、Σ(1/偶数⁵)= （1/32）ζ(5)

これから、　Σ(1/奇数⁵) ： Σ(1/偶数⁵) = 31 ： 1

　Σ(1/奇数⁶)=（63/64）ζ(6)　、Σ(1/偶数⁶)=（1/64）ζ(6)

これから、　Σ(1/奇数⁶) ： Σ(1/偶数⁶) = 63 : 1

　　　・・・・・・・・・・・・・・・･････････････

　この結果に辿り着いたとき、一瞬有り得ぬだろうという感情が湧き起こりました。それは奇
数と偶数は平等に存在しており、２つの合計には大差は起きないという先入観でした。しかし
冷静に考えると、考えているのはその冪での逆数であり、冪が大きければ大きいほど加えて
いく数字は小さいものになっていく。

　したがって、一番大きな1が入るか入らないかが全体の和に及ぼす値に決定的な影響を与
えるという事実でした。

　いつの間にか日常での意識が定着し、逆数という世界になると全く様相が一変することが
起きていることに改めて認識を新たにしたことでした。


　ＫＳさんからのコメントです。（平成２６年３月２１日付け）

　数列　３，７，１５，３１，６３，・・・　は、階差が２の巾になっていますが、この先はどうでしょ
うか？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年３月２１日付け）

　この先も一般に、Σ１／（奇数）ⁿ ： Σ１／（偶数）ⁿ = ２ⁿー１ ： １　の関係は成立していきま
す。