・マチンの公式を真似して                  GAI 氏

 π/4=1−1/3+1/5−1/7+・・・=arctan(1) は見た目は美しいが、収束が遅いこと
が知られている。ジョン・マチンは、マチンの公式(1706年)

 π/4=4arctan(1/5)−arctan(1/239) (収束が速い!)

を用いて、円周率を100桁まで計算することに成功した。

 arctan(x)を用いた公式は、1970年代まで円周率の計算に貢献した。

 そこで、マチンの公式を意識して、

 arctan(1/1)=arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/4 ・・・・・ (*)  (オイラー 1748年)

 arctan(1/1)=arctan(1/3)+arctan(1/2)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/4)+arctan(3/5)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/5)+arctan(2/3)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/6)+arctan(5/7)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/7)+arctan(3/4)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/8)+arctan(7/9)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/9)+arctan(4/5)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/10)+arctan(9/11)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/11)+arctan(5/6)=π/4

 arctan(1/2)=arctan(1/3)+arctan(1/7) ・・・・・・・・・・ (**)

以下、

arctan(1/2)=arctan(1/4)+arctan(2/9) 、arctan(1/2)=arctan(1/5)+arctan(3/11)
arctan(1/2)=arctan(1/6)+arctan(4/13) 、arctan(1/2)=arctan(1/7)+arctan(1/3)
arctan(1/2)=arctan(1/8)+arctan(6/17) 、arctan(1/2)=arctan(1/9)+arctan(7/19)
arctan(1/2)=arctan(1/10)+arctan(8/21) 、arctan(1/2)=arctan(1/11)+arctan(9/23)
arctan(1/2)=arctan(1/12)+arctan(2/5) 、arctan(1/3)=arctan(1/4)+arctan(1/13)
arctan(1/3)=arctan(1/5)+arctan(1/8) 、arctan(1/3)=arctan(1/6)+arctan(3/19)
arctan(1/3)=arctan(1/7)+arctan(2/11) 、arctan(1/3)=arctan(1/8)+arctan(1/5)
arctan(1/3)=arctan(1/9)+arctan(3/14) 、arctan(1/3)=arctan(1/10)+arctan(7/31)
arctan(1/3)=arctan(1/11)+arctan(4/17) 、arctan(1/3)=arctan(1/12)+arctan(9/37)
arctan(1/3)=arctan(1/13)+arctan(1/4) 、arctan(1/4)=arctan(1/5)+arctan(1/21)
arctan(1/4)=arctan(1/6)+arctan(2/25) 、arctan(1/4)=arctan(1/7)+arctan(3/29)
arctan(1/4)=arctan(1/8)+arctan(4/33) 、arctan(1/4)=arctan(1/9)+arctan(5/37)
arctan(1/4)=arctan(1/10)+arctan(6/41) 、arctan(1/4)=arctan(1/11)+arctan(7/45)
arctan(1/4)=arctan(1/12)+arctan(8/49) 、arctan(1/4)=arctan(1/13)+arctan(9/53)
arctan(1/4)=arctan(1/14)+arctan(10/57) 、arctan(1/5)=arctan(1/6)+arctan(1/31)
arctan(1/5)=arctan(1/7)+arctan(1/18) 、arctan(1/5)=arctan(1/8)+arctan(3/41)
arctan(1/5)=arctan(1/9)+arctan(2/23) 、arctan(1/5)=arctan(1/10)+arctan(5/51)
arctan(1/5)=arctan(1/11)+arctan(3/28) 、arctan(1/5)=arctan(1/12)+arctan(7/61)
arctan(1/5)=arctan(1/13)+arctan(4/33) 、arctan(1/5)=arctan(1/14)+arctan(9/71)
arctan(1/5)=arctan(1/15)+arctan(5/38) 、arctan(1/6)=arctan(1/7)+arctan(1/43)
arctan(1/6)=arctan(1/8)+arctan(2/49) 、arctan(1/6)=arctan(1/9)+arctan(3/55)
arctan(1/6)=arctan(1/10)+arctan(4/61) 、arctan(1/6)=arctan(1/11)+arctan(5/67)
arctan(1/6)=arctan(1/12)+arctan(6/73) 、arctan(1/6)=arctan(1/13)+arctan(7/79)
arctan(1/6)=arctan(1/14)+arctan(8/85) 、arctan(1/6)=arctan(1/15)+arctan(9/91)
arctan(1/6)=arctan(1/16)+arctan(10/97) 、arctan(1/7)=arctan(1/8)+arctan(1/57)
arctan(1/7)=arctan(1/9)+arctan(1/32) 、arctan(1/7)=arctan(1/10)+arctan(3/71)
arctan(1/7)=arctan(1/11)+arctan(2/39) 、arctan(1/7)=arctan(1/12)+arctan(1/17)
arctan(1/7)=arctan(1/13)+arctan(3/46) 、arctan(1/7)=arctan(1/14)+arctan(7/99)
arctan(1/7)=arctan(1/15)+arctan(4/53) 、arctan(1/7)=arctan(1/16)+arctan(9/113)
arctan(1/7)=arctan(1/17)+arctan(1/12) 、arctan(1/8)=arctan(1/9)+arctan(1/73)
arctan(1/8)=arctan(1/10)+arctan(2/81) 、arctan(1/8)=arctan(1/11)+arctan(3/89)
arctan(1/8)=arctan(1/12)+arctan(4/97) 、arctan(1/8)=arctan(1/13)+arctan(1/21)
arctan(1/8)=arctan(1/14)+arctan(6/113) 、arctan(1/8)=arctan(1/15)+arctan(7/121)
arctan(1/8)=arctan(1/16)+arctan(8/129) 、arctan(1/8)=arctan(1/17)+arctan(9/137)
arctan(1/8)=arctan(1/18)+arctan(2/29) 、arctan(1/9)=arctan(1/10)+arctan(1/91)
arctan(1/9)=arctan(1/11)+arctan(1/50) 、arctan(1/9)=arctan(1/12)+arctan(3/109)
arctan(1/9)=arctan(1/13)+arctan(2/59) 、arctan(1/9)=arctan(1/14)+arctan(5/127)
arctan(1/9)=arctan(1/15)+arctan(3/68) 、arctan(1/9)=arctan(1/16)+arctan(7/145)
arctan(1/9)=arctan(1/17)+arctan(4/77) 、arctan(1/9)=arctan(1/18)+arctan(9/163)
arctan(1/9)=arctan(1/19)+arctan(5/86) 、arctan(1/10)=arctan(1/11)+arctan(1/111)
arctan(1/10)=arctan(1/12)+arctan(2/121) 、arctan(1/10)=arctan(1/13)+arctan(3/131)
arctan(1/10)=arctan(1/14)+arctan(4/141) 、arctan(1/10)=arctan(1/15)+arctan(5/151)
arctan(1/10)=arctan(1/16)+arctan(6/161) 、arctan(1/10)=arctan(1/17)+arctan(7/171)
arctan(1/10)=arctan(1/18)+arctan(8/181) 、arctan(1/10)=arctan(1/19)+arctan(9/191)
arctan(1/10)=arctan(1/20)+arctan(10/201) 、・・・・・・・・・・・・・・・

 これらを組み合わせることで円周率πをいろいろな式で表すことができる。

 例えば、(**)を(*)へ代入すると、π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/7) から

   π=8arctan(1/3)+4arctan(1/7)

など...。


 らすかるさんからのコメントです。(平成26年1月31日付け)

 arctan(x)の x が小さいほど高速に収束しますので、

π/4=183arctan(1/239)+32arctan(1/1023)-68arctan(1/5832)
             +12arctan(1/110443)-12arctan(1/4841182)-100arctan(1/6826318)

のように x が小さい公式が作れれば、有名になれるかも知れませんよ。


 GAI さんからのコメントです。(平成30年12月4日付け)

 以前、マチンの公式をさらに進化させた円周率を求める近似方法として

π/4=12*arctan(1/49)+32*arctan(1/57)-5*arctan(1/239)+12*arctan(1/110443)

が紹介されていた。これを公式だけを頼りに証明してみた。ただし、計算はソフトを利用した。

 [x]:=arctan(x) と表すことにする。: 12*arctan(1/49)=6*(2[1/49])

 2[x]=[2*x/(1-x^2)]から、

gp > 2/49/(1-(1/49)^2)
%251 = 49/1200
gp >2*%251/(1-%251^2)
%254 = 117600/1437599

 よって、 12*arctan(1/49)=3*[%254]

 ここで、 3[x]=[(x^3-3*x)/(3*x^2-1)] から、

gp > (%254^3-3*%254)/(3*%254^2-1)
%277 = 727502164381792800/2911427801860312799

 同じく、 32*arctan(1/57)

gp > 1/57
%268 = 1/57
gp > 2*%268/(1-%268^2)
%269 = 57/1624
gp > 2*%269/(1-%269^2)
%270 = 185136/2634127
gp > 2*%270/(1-%270^2)
%271 = 975343472544/6904349713633
gp > 2*%271/(1-%271^2)
%272 = 13468224850705964395984704/46718750078709900624226753
gp > 2*%272/(1-%272^2)
%273 = 1258437261608003827417436088483220732017476031172224/
       2001248528287782648828504442719364153615241358955393

 また、 5[x]=[(x^5-10*x^3+5*x)/(5*x^4-10*x^2+1)] から

5*arctan(1/239)は
gp > 1/239
%279 = 1/239
gp > ((%279)^5-10*(%279)^3+5*(%279))/(5*%279^4-10*%279^2+1)
%280 = 4078367999/194918686801

 最後に、 12*arctan(1/110443) は、

gp > 1/110443
%274 = 1/110443
gp > 2*%274/(1-%274^2)
%275 = 110443/6098828124
gp > 2*%275/(1-%275^2)
%276 = 1347145748997864/37195704473895703127
gp > (%276^3-3*%276)/(3*%276^2-1)
%278 = 5591411000625584861155181978021667341047545829855840824/
     51461016894072118290173182441350333304888274623920577734407

 よって、証明すべき右辺=[%277]+[%273]-[%280]+[%278] となる。

 ここに、 [x]+[y]=[(x+y)/(1-x*y)]-[x]=[-x] であるから、上記の計算は前2つ、後ろ2つを
まず計算し、

gp > (%277+%273)/(1-%277*%273)
%281 = 5119761866137741361052667263968555041359243993953481601974447849065376/
       4910974772130565865410501314518795312702645201493819522097404184787807
gp > (%278-%280)/(1+%278*%280)
%282 = -208787094007175495642165949449759728656598792459662079877043664277569/
       10030736638268307226463168578487350354061889195447301124071852033853183

 この2つの結果から、

gp > (%281+%282)
%283 = 50329634778461071217643425838009844434612506230709140341201057393087568
       588373647403868170886777886653684621620641337358392775058746337890625/
       49260694576421418366186235886844375957921339683702076150110094066113181
       950258478565593846118918795287689744860927143108616409201151446539681
gp > (1-%281*%282)
%284 = 50329634778461071217643425838009844434612506230709140341201057393087568
       588373647403868170886777886653684621620641337358392775058746337890625/
       49260694576421418366186235886844375957921339683702076150110094066113181
       950258478565593846118918795287689744860927143108616409201151446539681

 最後に、

gp > %283/%284
%285 = 1

(こんなに大きな桁同士の分数が全く同じになれることは驚いた。)

 正に、このことは右辺の計算結果がπ/4に等しいことを示す。

 逆に、こんな複雑な式をよくも考えつくものだと感心します。さらに、この話題の時に、らす
かるさんが確か

π/4=183*[1/239]+32*[1/1023]-68*[1/5832]+12*[1/110443]-12*[1/4841182]-100*[1/6826318]

もありますと、さらりと示されていたことがありましたが、もうこれはコンピュータでも確認する
気が起きません。一体全体こんな式はどうやって導きだされているのでしょうか?

 こんな式を生み出せるアルゴリズムがあれば、円周率に最も速く収束させられる手段にな
るんでしょうが・・・。


 らすかるさんからのコメントです。(平成30年12月4日付け)

 その式は、自分が導きだしたのか、どこかから持ってきたかすら覚えていませんが、例え
ば、「arctan系公式」を見ると、arctanを使った公式の作り方が書いてあります。


 GAI さんからのコメントです。(平成30年12月5日付け)

 教えてもらったサイトで、arctan系公式に唯一分子が1ではないもの

  π/4=5*arctan(1/7)+2*arctan(3/79)  (オイラーによる)

が載っていました。私が投稿していた最初の公式は、高野喜久雄さんという方のようで、詩
人でもあることが、とても興味を引きました。

(閑話休題) ところで、このオイラーが用いた 3/79 は、絶妙な数値であることを理解しまし
た。(調べると他にも候補となれる分数はあるのですが、この分数は他に較べ遥かに有用
ですね。)

 この人は、このあたりのテクニックがほんとに感心します。そこで、オイラーに負けじと上
記の公式より僅かに収束を速めるものとして

  π/4=5*arctan(29/278)+7*arctan(3/79)

が構成できそうです。(等号成立は一応確認しました。)

(追伸) らすかるさんが紹介されていた式

π/4=183*[1/239]+32*[1/2023]-68*[1/5832]+12*[1/110443]-12*[4841182]-100*[1/6826318]

は、arctan(x) の公式に頼らなくても、次の複素数 z での計算(Iは虚数単位)

gp >z= (239-I)^183*(1023-I)^32*(5832-I)^(-68)*(110443-I)^12*(4841182-I)^(-12)*(6826318-I)^(-100)

が、Re(z)=-Im(z) の条件を満たせば成立することを示せることができ、実際計算させると、

%346 = 10384593717069655257060992658440192/
       630039345456701917317350518708120069
       587935602397026666753977219129503906
       555883911476917912922620834537000362
       477431285459113537524476172989544340
       086337164766724260364815780115290401
       897501825401818246100507879463529236
       193399336389164424573787585955776204
       344839722677525946700300401832847003
       682775642017214176038765989895661119
       886811757385004661451905785447083588
       868340538385952473320716837307985459
       417120813987380455517745871107937460
       919856675900518894195556640625
     - 10384593717069655257060992658440192/
       630039345456701917317350518708120069
       587935602397026666753977219129503906
       555883911476917912922620834537000362
       477431285459113537524476172989544340
       086337164766724260364815780115290401
       897501825401818246100507879463529236
       193399336389164424573787585955776204
       344839722677525946700300401832847003
       682775642017214176038765989895661119
       886811757385004661451905785447083588
       868340538385952473320716837307985459
       417120813987380455517745871107937460
       919856675900518894195556640625*I

 正に、 Re(z)=-Im(z) が見てとれました。


 らすかるさんからのコメントです。(平成30年12月5日付け)

 Re(z)=-Im(z) の条件を満たせば成立する

 さらに、(1+I) を掛けて実数(整数)になることを確認した方が、確認作業が簡単になると思
います。



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