1+2+3+･･･+n=n(n+1)/2 、12+22+32+･･･+n2=n(n+1)(2n+1)/6 はよく知られた公式であるの
で、符号が交互に変わる交代数列の和を考えた。すると、
1-2+3-4+･･･+(-1)n-1n=(-1)n-1ｃｅｉｌ(n/2) （ｃｅｉｌ は天井関数）
12-22+32-･･･+(-1)n-1n2=(-1)n-1n(n+1)/2
は、なんとか成り立つ式として書き表せたと思うが、これから先が難しくなった。このあたりの
研究済みのかた情報を願う。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年１月１６日付け）
1-2+3-4+･･･+(-1)n-1n について、
n=2mのとき、 与式=1-2+3-4+…-n=(1-2)+(3-4)+…+((n-1)-n)=-n/2
n=2m+1のとき、 与式=1-2+3-4+…-(n-1)+n=-(n-1)/2+n=(n+1)/2
偶奇合わせて、 与式=-{(-1)n(2n+1)-1}/4
12-22+32-･･･+(-1)n-1n2 について、
n=2mのとき、
与式=12-22+32-･･･-n2=(12+22+32+･･･+n2)-2(22+42+62+…+n2)
=(12+22+32+･･･+n2)-8(12+22+32+･･･+(n/2)2)
=n(n+1)(2n+1)/6 - 8(n/2)(n/2+1)(n+1)/6=-n(n+1)/2
n=2m+1のとき、
与式=12-22+32-･･･-(n-1)2+n2=-(n-1)n/2+n2=n(n+1)/2
偶奇合わせて、 与式=-(-1)nn(n+1)/2
13-23+33-･･･+(-1)n-1n3 について、
n=2mのとき、
与式=13-23+33-･･･-n3=(13+23+33+･･･+n3)-2(23+43+63+…+n3)
=(13+23+33+･･･+n3)-16(13+23+33+…+(n/2)3)
=n2(n+1)2/4 - 16(n/2)2(n/2+1)2/4=-n2(2n+3)/4
n=2m+1のとき、
与式=13-23+33-･･･-(n-1)3+n3=-(n-1)2(2(n-1)+3)/4+n3=(n+1)2(2n-1)/4
偶奇合わせて、 与式=-{(-1)n(2n+1)(2n2+2n-1)+1}/8
14-24+34-･･･+(-1)n-1n4 について、
n=2mのとき、(同様なので途中まで式省略)
与式=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30 - 32(n/2)(n/2+1)(2(n/2)+1)(3(n/2)2+3(n/2)-1)/30
=-n(n+1)(n2+n-1)/2
n=2m+1のとき、
与式=-(n-1)((n-1)+1)((n-1)2+(n-1)-1)/2 + n4=n(n+1)(n2+n-1)/2
偶奇合わせて、 与式=-(-1)nn(n+1)(n2+n-1)/2
これ以降は自分で計算するのが面倒なので、WolframAlphaを使います。
（「sum (-1)^(k-1)*k^2,k=1,n」のように入力すれば計算してくれます）
奇数乗をまとめて書くと、
1乗：-{(2n+1)(-1)^n-1}/4
3乗：-{(2n+1)(2n^2+2n-1)(-1)^n+1}/8
5乗：-{(2n+1)(n^2+n-1)^2(-1)^n-1}/4
7乗：-{(2n+1)(4n^6+12n^5-6n^4-32n^3+16n^2+34n-17)(-1)^n+17}/16
9乗：-{(2n+1)(n^8+4n^7-2n^6-20n^5+10n^4+58n^3-29n^2-62n+31)(-1)^n-31}/4
偶数乗をまとめて書くと、
2乗：-(-1)^n/2・n(n+1)
4乗：-(-1)^n/2・n(n+1)(n^2+n-1)
6乗：-(-1)^n/2・n(n+1)(n^4+2n^3-2n^2-3n+3)
8乗：-(-1)^n/2・n(n+1)(n^6+3n^5-3n^4-11n^3+11n^2+17n-17)
10乗：-(-1)^n/2・n(n+1)(n^8+4n^7-4n^6-26n^5+26n^4+100n^3-100n^2-155n+155)
これらは、m=(n-1)(n+2)とおくと、
奇数乗は、
1乗：-{(2n+1)(-1)^n-1}/4
3乗：-{(2n+1)(2m+3)(-1)^n+1}/8
5乗：-{(2n+1)(m+1)^2(-1)^n-1}/4
7乗：-{(2n+1)(4m^3+6m^2+10m+11)(-1)^n+17}/16
9乗：-{(2n+1)(m^4+9m^2+6m-9)(-1)^n-31}/4
偶数乗は、
2乗：-(-1)^n/2・n(n+1)
4乗：-(-1)^n/2・n(n+1)(m+1)
6乗：-(-1)^n/2・n(n+1)(m^2+m+1)
8乗：-(-1)^n/2・n(n+1)(m^3+5m+1)
10乗：-(-1)^n/2・n(n+1)(m^4-2m^3+19m^2-23m+1)
のように若干きれいにまとめられます。
