・素数の表現　　　　　　　　 　 　 　　 　　　　　　　　ＧＡＩ 氏

　素数ｐが２つの正の整数ｘ、ｙで、ｐ=(ｘ⁴-ｙ⁴)/(ｘ³+ｙ³)　と表せる組合せを調べたら、

のような結果をみた。一方、素数ｐが自然数ｎで、ｐ=ｎ²+(ｎ+1)²　と表せる条件を探したら、

となり、何と上記の条件で探した素数ｐがもれなく抽出されてきた。この２つには何かしら繋
がりがあるとしか考えられない。素数ｐ=3121、3613、4513、5101について、いかなるｘ、ｙを
使えば、ｐ=(ｘ⁴-ｙ⁴)/(ｘ³+ｙ³)　と表せるのか、お知らせ願いたい。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１２月２５日付け）

　ｎ、ｘ、ｙの関係は、　ｘ=(ｎ+1)(ｎ²+ｎ+1)　、ｙ=ｎ(ｎ²+ｎ+1)　となるので、

　ｐ=3121になるｎ=39のとき、ｘ=(39+1)(39²+39+1)=62440　、ｙ=39(39²+39+1)=60879　のよう
になります。

　この値が出せなかったのは、62440⁴＞2⁶³-1 となってオーバーフローしたせいでしょう。
（一つ前は45396⁴＜2⁶³-1でオーバーフローしない）

　(ｘ⁴-ｙ⁴)/(ｘ³+ｙ³)　の分子分母をｘ+ｙで割った　(ｘ-ｙ)(ｘ²+ｙ²)/(ｘ²-ｘｙ+ｙ²) 　で計算すれば、
もう少し先まで出せると思います。

　また、ｐ=(ｘ⁴-ｙ⁴)/(ｘ³+ｙ³) と ｐ=ｎ²+(ｎ+1)² が同値であることも証明できました。

（証明）　(ｘ⁴-ｙ⁴)/(ｘ³+ｙ³) =(ｘ-ｙ)+ｘｙ(ｘ²-ｙ²)/(ｘ³+ｙ³)=(ｘ-ｙ)+ｘｙ(ｘ-ｙ)/(ｘ²-ｘｙ+ｙ²)

　ｘとｙが互いに素だとすると、ｘ²-ｘｙ+ｙ²は、ｘ、ｙ、ｘ-ｙのすべてと互いに素な1より大きい整

数なので、(ｘ⁴-ｙ⁴)/(ｘ³+ｙ³)は整数にならない。従って、ｘとｙは互いに素ではない。

　ｘ=ｓｇ、ｙ=ｔｇ　（ｇ≧2、ｓとｔは互いに素）　とおいて整理すると、

(ｘ⁴-ｙ⁴)/(ｘ³+ｙ³)=ｇ(ｓ⁴-ｔ⁴)/(ｓ³+ｔ³)=ｇ(ｓ-ｔ)+ｇｓｔ(ｓ-ｔ)/(ｓ²-ｓｔ+ｔ²)

　上と同様に、ｓ²-ｓｔ+ｔ²は、ｓ、ｔ、ｓ-ｔのすべてと互いに素なので、ｇがｓ²-ｓｔ+ｔ²で割り切れる。

　ｇ=ｍ(ｓ²-ｓｔ+ｔ²)　とおいて整理すると、

(ｘ⁴-ｙ⁴)/(ｘ³+ｙ³)=ｇ(ｓ-ｔ)+ｇｓｔ(ｓ-ｔ)/(ｓ²-ｓｔ+ｔ²)=ｍ(ｓ²-ｓｔ+ｔ²)(ｓ-ｔ)+ｍｓｔ(ｓ-ｔ)=ｍ(ｓ-ｔ)(ｓ²+ｔ²)

　これが素数だから、ｍ=ｓ-ｔ=1　でなければならない。ｍ=1、ｓ=ｔ+1　を代入すると、

　ｍ(ｓ-ｔ)(ｓ²+ｔ²)=(ｔ+1)²+ｔ²　となり、ｎ²+(ｎ+1)² の式と同値になる。　　（証終）


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年１２月２５日付け）

　「ｎ、ｘ、ｙの関係は、　ｘ=(ｎ+1)(ｎ²+ｎ+1)　、ｙ=ｎ(ｎ²+ｎ+1)　となる」ことに、よく気がつかれま
したね。私も、f(ｘ，ｙ)=ｎ　もしくは、ｘ(ｎ)、ｙ(ｎ)の関係式を何とか見つけようと、あれこれやっ
ていましたが、とうとう挫折していました。
（理屈で攻めるんですか？それともなんとなくという感覚ですか？）

　いろいろ式をいじくっていましたら、一般に、　(n+(n+1))²+(2n(n+1))²=(n²+(n+1)²)²　が成立
することが起こるので、さきほどの素数ｐ=ｎ²+(ｎ+1)² が成立する組み合わせを利用すると、

　　n=1--->(1+2)²+(2*1*2)²=(1²+2²)²　　即ち、3²+4²=5²
　　n=2--->(2+3)²+(2*2*3)²=(2²+3³)²　　即ち、5²+12²=13²
　　n=4--->(4+5)²+(2*4*5)²=(4²+5²)²    即ち、9²+40²=41²
　　n=5--->(5+6)²+(2*5*6)²=(5²+6²)²　　即ち、11²+60²=61²
　　n=7--->(7+8)²+(2*7*8)²=(7²+8²)²　　即ち、15²+112²=113²
　　　　　　　･････････････････

の関係式が芋ずる式に現れることになる。

　以前、自然数ｎ（勿論素数を含む）が２つの平方和で表せる条件と組み合わせると、4k+1
形の素数ｐは必ず、ｐ=ｘ²+ｙ² と表され、その中でも ｎ²+(ｎ+1)² で表されるグループの素数
ｐ’は、ｐ’を斜辺とし、直角を挟む２辺がn+(n+1)、2*n*(n+1)(=ｐ’-1) である直角三角形が存
在する、という結論が導けるのかな。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１２月２５日付け）

　上記の関係式に気がついたのは、理屈ですね。

　ｘ、ｙ、ｐの表を眺めると、

6,3,5→ｘとｙは3で割り切れ、割ると2と1、21,14,13→ｘとｙは7で割り切れ、割ると3と2
105,84,41→ｘとｙは21で割り切れ、割ると5と4、186,155,61→ｘとｙは31で割り切れ、割ると6と5

　商の差が1なので、ｘ-ｙ=(割った数)、また、ｐは割った数の2倍-1　ぐらいは気付きますよね。

　そうすると、まず、1,2,4,5,…と続く ｙ/(ｘ-ｙ) と、3,7,21,31,…と続く ｘ-ｙ の関係を考えたくなり
ます。

　　1→3　、2→7　、4→21　、5→31　、7→57　、9→91

これは、3→13と6→43と8→73を補って、

　1→3　、2→7　、3→13　、4→21　、5→31　、6→43　、7→57　、8→73　、9→91

とすると、階差が4,6,8,10,…ときれいに並びますから、3+Σ(2k+2)からすぐに、ｎ²+ｎ+1 とわか
ります。

　つまり、ｙ/(ｘ-ｙ)=ｎ　とすると、上で割った数=ｘ-ｙ=ｎ²+ｎ+1なので、

　　ｙ=(ｙ/(ｘ-ｙ))(ｘ-ｙ)=ｎ(ｎ²+ｎ+1)　、ｘ=(ｘ-ｙ)+ｙ=(ｎ²+ｎ+1)+ｎ(ｎ²+ｎ+1)=(ｎ+1)(ｎ²+ｎ+1)

となりますね。そして、このｎがちょうどｐ=ｎ²+(ｎ+1)² のｎと一致していますので、そのまま

　　ｘ=(ｎ+1)(ｎ²+ｎ+1)　、ｙ=ｎ(ｎ²+ｎ+1)

が、ｘ、ｙ、ｎの関係式となります。