・アレクサンダー整数　　　 　 　 　　 　　　　　　　　ＧＡＩ 氏

　次の式　A = ｐ*ｑ*ｒ　かつ、1/A = 1/ｐ - 1/ｑ - 1/ｒ　を満たす整数ｐ、ｑ、ｒが存在するとき、
正整数 A をアレクサンダー整数(Alexandrian integer)と呼ぶ。

　例　630はアレクサンダー整数である。(ｐ=5、ｑ=7、ｒ=18)

　 630は、6番目のアレクサンダー整数であり、6番目まで並べると、

　　　 6、42、120、156、420、630

となる。（→　参考：「Ａ147811」）

　即ち、

　　6=1*2*3　、1/6=1/1-1/2-1/3
　　42=2*3*7　、1/42=1/2-1/3-1/7
　　120=3*5*8　、1/120=1/3-1/5-1/8
　　156=3*4*13　、1/156=1/3-1/4-1/13
　　420=4*5*21　、1/420=1/4-1/5-1/21
　　630=5*7*18　、1/630=1/5-1/7-1/18

　そこで、100番目のアレクサンダー整数を求めよ。また、これがどんな３つのエジプト分数
で表せるか。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１２月２３日付け）

　同じような問題がここにありましたが、こちらは100番目ではなく150000番目ですね。
150000番目が求められるなら、きっと100番目はたやすいのでしょうね。

「Ａ147811」の続きを自力で求められたのでしたら、そこに投稿すれば名前が載りますよ。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年１２月２３日付け）

　ここの問題に挑戦してみようとやり始めたのですが、求められているのがなんと150000番
目という途方もない彼方の数。ここに載ってない40番目から、せめて100番目までと探索し
ていきました。プログラムをあれこれいじり直しながら（２つのプログラムを組合せて進めま
した。）

　やっと100番目に相当するであろう次のアレキサンダー整数に行き着きました。

　　　1195116=47*52*489 ; 1/1195116=1/47-1/52-1/489

でもこれが正解なのか確認がわからないので、らすかるさんのご足労をお願いしたいと出題
しました。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１２月２４日付け）

　プログラムを作って確かめたところ、100番目は「1195116」で合ってました。ついでに、
150000番目の「1884161251122450」も確認して、100万番目は「533250036187491210」であ
ることも計算しました。

　150000番目は適当な数行のプログラムでも数分で出ましたが、100万番目の計算に時間が
かかって返事が遅くなりました(笑)


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年１２月２４日付け）

100万番目：53京3250億･･･！！！とんでもない数まで調査されるなんて、どんなプログラム
なんですか。開いた口が塞がりません。

　この３つにわけたｐ、ｑ、ｒにはすごい法則があるんですね。１００個のもので確認しました。

　らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１２月２４日付け）

　法則って、もしかして、「ｄ=ｑ-ｐ , ｒ=ｐ+(ｐ²+1)/ｄ」のことですか？この式は、私が計算に使
った式そのものです。

　例えば、100番目まで求める場合、100番目が「1195116」なので、[1195116^(1/3)]=106か
ら、ｐは、1〜106まで調べれば十分、ｑはｐ+1から2ｐまで調べれば十分なので、この範囲で、
(ｐ²+1)/(ｑ-ｐ)が割り切れるものを探し、割り切れたら、それをｒとして、ｐ*ｑ*ｒを出力するとい
うプログラムです。

　もちろん、このままでは順不同ですので、出力結果をソートプログラムでソートします。そう
すると、100番目が確認できます。もちろん、100番目がわからない時はｐの範囲もわかりま
せんが、まずは適当な範囲にして、出た結果の100番目の値からｐを決めて再度実行すれ
ば、２回目は100番目の値が正しく得られます。
（最初に出た仮の100番目の値は、大きいことはあっても小さいことはないからです。）

　但し、100番目程度なら多分大丈夫ですが、1000番目とか求めようとするとすぐに、p*q*r
がintの範囲を超えて変な結果になったりしますので、オーバーフローチェックを入れる必要
はあります。

　例えば、int（符号付き32ビット）の範囲の1431個の解を得るプログラムは、以下のようにな
ります。

#include <stdio.h>
int main(void){
　int p, q, r;
　for(p = 1; p <= 1289; ++p)
　　for(q = p + 1; q <= p + p; ++q)
　　　if((p * q + 1) % (q - p) == 0 &&
　　　　(r = (p * q + 1) / (q - p)) <= 2147483647 / (p * q))
　　　　printf("%10d\n", p * q * r);
　return 0;
}

（出力結果をテキストファイルにして別プログラムでソートします）


（コメント）　Ｎ番目のアレクサンダー整数をＭとすると、（ｌｏｇＮ，ｌｏｇＭ）の分布は、ほぼ直線
　　　　　　になるらしい。

　例えば、らすかるさんの計算結果から、

　　Ａ（ｌｏｇ100，ｌｏｇ1195116）＝（4.60517018598809，13.9937538097664）、

　　Ｂ（ｌｏｇ150000，ｌｏｇ1884161251122450）＝（11.9183905730784，35.17225915717）、

　　Ｃ（ｌｏｇ1000000，ｌｏｇ533250036187491210）＝（13.8155105579643，40.8177668201243）

　このとき、線分ＡＢの傾きは、2.89592056938268・・・

　　　　　　　線分ＢＣの傾きは、2.97583057894667・・・

　　　　　　　線分ＡＣの傾きは、2.91238020822486・・・

　Ｎの増加とともに傾きもだんだん増加する傾向があるように見えるが．．．。