計算してみたら、次のように等式が成り立つことが起こりました。
（他にもあるのですが、一位の数字が１で揃う物だけを挙げました。）
1/21+2/21+3/21+…+31/21=(1/21)^2+(2/21)^2+(3/21)^2+…+(31/21)^2
1/41+2/41+3/41+…+61/41=(1/41)^2+(2/41)^2+(3/41)^2+…+(61/41)^2
1/61+2/61+3/61+…+91/61=(1/61)^2+(2/61)^2+(3/61)^2+…+(91/61)^2
1/81+2/81+3/81+…+121/81=(1/81)^2+(2/81)^2+(3/81)^2+…+(121/81)^2
1/101+2/101+3/101+…+151/101=(1/101)^2+(2/101)^2+(3/101)^2+…+(151/101)^2
1/121+2/121+3/121+…+181/121=(1/121)^2+(2/121)^2+(3/121)^2+…+(181/121)^2
1/141+2/141+3/141+…+211/141=(1/141)^2+(2/141)^2+(3/141)^2+…+(211/141)^2
1/161+2/161+3/161+…+241/161=(1/161)^2+(2/161)^2+(3/161)^2+…+(241/161)^2
1/181+2/181+3/181+…+271/181=(1/181)^2+(2/181)^2+(3/181)^2+…+(271/181)^2
1/201+2/201+3/201+…+301/201=(1/201)^2+(2/201)^2+(3/201)^2+…+(301/201)^2
･･･････････････
さらに、
1/6+2/6+3/6+…+8/6=(1/6)^3+(2/6)^3+(3/6)^3+…+(8/6)^3
1/35+2/35+3/35+…+49/35=(1/35)^3+(2/35)^3+(3/35)^3+…+(49/35)^3
1/204+2/204+3/204+…+288/204=(1/204)^3+(2/204)^3+(3/204)^3+…+(288/204)^3
･･･････････････
４乗でも広く探したのですが、見つけることはできませんでした。強力な探査をお願いしま
す。
空舟さんからのコメントです。（平成２５年１２月８日付け）
Σk/m ＝ Σ（k/m）4 より、 n(n+1)/（2m） = n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/（30m4） の整数解
を探すことになります。
2n+1 = q とおいて展開すると、60m3 = 3q3-7q より、qは3の倍数であることが分かるので
q=3x とおいてみると、 20m3 = 27x3 - 7x
ここで、x=m とおくと、 x=-1、0、1 が解になることが分かりますが、n＞1の解に興味があ
るので、x＞1が対象になります。この先の考察が本質だと思いますが・・難しかったです・・。
りらひいさんからのコメントです。（平成２５年１２月１１日付け）
４乗を少し考えてみましたが難しそうだったので、GAIさんが載せたものと似た雰囲気のも
のを少し書いておきます。
(1/5)^2+(2/5)^2+(3/5)^2+…+(6/5)^2=(1/5)^4+(2/5)^4+(3/5)^4+…+(6/5)^4
(1/67)^2+(2/67)^2+(3/67)^2+…+(86/67)^2=(1/67)^4+(2/67)^4+(3/67)^4+…+(86/67)^4
(1/311)^2+(2/311)^2+(3/311)^2+…+(401/311)^2
=(1/311)^4+(2/311)^4+(3/311)^4+…+(401/311)^4
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(1/11)^3+(2/11)^3+(3/11)^3+…+(13/11)^3=(1/11)^5+(2/11)^5+(3/11)^5+…+(13/11)^5
(1/109)^3+(2/109)^3+(3/109)^3+…+(133/109)^3
=(1/109)^5+(2/109)^5+(3/109)^5+…+(133/109)^5
(1/1079)^3+(2/1079)^3+(3/1079)^3+…+(1321/1079)^3
=(1/1079)^5+(2/1079)^5+(3/1079)^5+…+(1321/1079)^5
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
そういえば、GAIさんは一部しか挙げていませんが、一般に、ｎ=1、2、3、・・・ として、
Σk=1〜3n-2 k/(2n-1)=Σk=1〜3n-2 {k/(2n-1)}2
が成り立ちますね。
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１２月１２日付け）
Σk=1〜n k/m = Σk=1〜n (k/m)4 の解は自明解 (ｍ，ｎ)=(1，1)のみである
ことが（大変長いですが）証明できました。途中で、ｘ3-20y3=1 、ｘ3-20ｙ3=7 、ｘ3-20ｙ3=35
という３つのThue方程式が登場しますが、WolframAlphaによるとそれぞれの解は、
ｘ3-20y3=1 → (ｘ，ｙ)=(1，0)、(-19，-7) ｘ3-20ｙ3=7 → (ｘ，ｙ)=(3，1)
ｘ3-20ｙ3=35 → (ｘ，ｙ)=(-5，-2)
らしいので、これが正しければ（正しいと思いますが）、Σk=1〜n k/m = Σk=1〜n (k/m)4 の解
は自明解 (ｍ，ｎ)=(1，1) しか存在しません。
以下、この証明を書きます。特に、断らない限り変数はすべて非負整数です。
（証明） Σk=1〜n k/m = Σk=1〜n (k/m)4 即ち、n(n+1)/2m = n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30m4
より、 15m3 = (2n+1)(3n2+3n-1) となる。ここで、3(2n+1)2=4(3n2+3n-1)+7なので、2n+1と
3n2+3n-1の最大公約数は、7または1
よって、(右辺)≡0 (mod 15) となるためには、n≡1、7、13 (mod 15)
（イ） n=15t+1 とおいて整理すると、m3=(10t+1)(135t2+27t+1)
※このように代入して変形しても、右辺の2つのカッコの最大公約数が高々7または1に限られることは変わりません。
・10t+1と135t2+27t+1が互いに素の場合、10t+1=a3、135t2+27t+1=b3 とおける。
このとき、 20b3+7=27a6 で、3a2=c とおくと、 c3-20b3=7
この方程式の解は、(c，b)=(3，1)だけなので、3a2=c、10t+1=a3、n=15t+1 から、n=1、m=1
という自明解が得られる。
・10t+1と135t2+27t+1の最大公約数が7の場合、t=7s+2とおけるので、代入して整理すると、
m3=72*(10s+3)(945s2+567s+85)
左辺は立方数なので、(10s+3)(945s2+567s+85)は、7で割り切れなければならないが、右側
のカッコ内は、945s2+567s+85=7(135s2+81s+12)+1であって、7で割り切れないので、10s+3が
7で割り切れる。このとき、s=7u+6とおけるので、代入して整理すると、
m3=73*(10u+9)(46305u2+83349u+37507)
ここで、213*(10u+9)2=20*(46305u2+83349u+37507)+1 なので、
10u+9と46305u2+83349u+37507は互いに素であり、10u+9=a3、46305u2+83349u+37507=b3
とおける。
このとき、 20b3+1=213*a6 で、21a2=c とおくと、c3-20b3=1
この方程式の解は、(c，b)=(1，0)と(-19，-7)だけなので、21a2=c に合わず不適。
（ロ） n=15t+7 とおいて整理すると、m3=(2t+1)(675t2+675t+167)
・2t+1と675t2+675t+167が互いに素の場合、2t+1=a3、 675t2+675t+167=b3とおける。
このとき、 4b3+7=675a6 の両辺を5倍して、 20b3+35=3375a6=153*a6 で、15a2=cとおくと、
c3-20b3=35 この方程式の解は、(c，b)=(-5，-2)だけなので、15a2=cに合わず不適。
・2t+1と675t2+675t+167の最大公約数が7の場合、t=7s+3とおけるので、代入して整理する
と、m3=72*(2s+1)(4725s2+4725s+1181)
上の方と同様に、4725s2+4725s+1181は7で割り切れないので、2s+1が7で割り切れ、
s=7u+3とおける。代入して整理すると、 m3=73*(2u+1)(231525u2+231525u+57881)
33*52*73*(2u+1)2=22*(231525u2+231525u+57881)+1なので、
2u+1と231525u2+231525u+57881は互いに素で、2u+1=a3、 231525u2+231525u+57881=b3
とおける。
このとき、 22*b3+1=33*52*73*a6 の両辺を5倍して、 20b3+1=(3*5*7*a2)3
3*5*7*a2=cとおくと、 c3-20b3=1 この方程式の解は、(c，b)=(1，0)と(-19，-7)だけなので、
3*5*7*a2=cに合わず不適。
（ハ） n=15t+13 とおいて整理すると、m3=(10t+9)(135t2+243t+109)
・10t+9と135t2+243t+109が互いに素の場合、10t+9=a3、135t2+243t+109=b3とおける。
このとき、 20b3+7=27a6 で、3a2=cとおくと、 c3-20b3=7
この方程式の解は、(c，b)=(3，1)だけなので、3a2=cからa=1となるが、10t+9=a3に不適。
・10t+9と135t2+243t+109の最大公約数が7の場合、t=7s+4とおけるので、代入して整理す
ると、m3=72*(10s+7)(945s2+1323s+463)
上の方と同様に、945s2+1323s+463 は7で割り切れないので、10s+7が7で割り切れ、
s=7uとおける。代入して整理すると、m3=73*(10u+1)(46305u2+9261u+463)
33*73*(10u+1)2=20(46305u2+9261u+463)+1なので、10u+1と46305u2+9261u+463は互いに
素で、10u+1=a3、 46305u2+9261u+463=b3 とおける。
このとき、 20b3+1=33*73*a6 で、3*7*a2=cとおくと、 c3-20b3=1
この方程式の解は、(c，b)=(1，0)と(-19，-7)だけなので、21a2=cに合わず不適。
以上により、 15m3 = (2n+1)(3n2+3n-1)の解は、自明解(m，n)=(1，1)のみなので、４乗の
形では、Σk=1〜1 k/1 = Σk=1〜1 (k/1)4 しかあり得ないことになります。 （証終）
（コメント） 本当に長〜い証明で圧倒されました！らすかるさんに感謝します。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年１２月１２日付け）
Thue(トゥエ）方程式に興味をもったので、少し計算機で調査してみました。
ｘ3−２０ｙ3＝ｎ (ｎ：自然数) では、ｎ＝1、7、8、12、19、20、21、28、35 には整数解が存
在するが、他は解なしの様です。(ｎは３５以内で)
面白いパターンとして、ｘ2−３ｙ4＝ｎ （n：自然数）に整数解がいろいろ変化に富みながら
存在している。
n=1--->(ｘ，ｙ)=(1，0)、(-1，0)、(7，2)、(-7，2)、(7，-2)、
(-7，-2)、(2，1)、(-2，1)、(2，-1)、(-2，-1) の１０組
n=4--->２組（以下解省略）
n=6--->４組
n=9--->２組
n=13-->８組
n=16-->10組
n=22-->８組
n=25-->２組
n=33-->12組
･･･････････
楕円曲線上の整数点をThue方程式へ還元できたりできるんですね。
