・ベン図の限界 　　 　　 　　　 　 　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　集合の要素の個数を計算する問題では、ベン図が有効に使われる。

　次の問題は、近畿大学（１９９９）の問題であるが、東京大学（１９６５）の集合論先駆けの
有名問題に類似している。

例　生徒数５０人のあるクラスで、Ａ、Ｂ、Ｃの３種類の本を読んだかどうかを調査したところ、
　　次の結果を得た。

（ａ）　Ａを読んだ生徒は３５人
（ｂ）　Ｂを読んだ生徒は２３人
（ｃ）　Ｃだけを読んだ生徒は２人
（ｄ）　Ｂ，Ｃの両方を読んだ生徒は１１人
（ｅ）　Ａ，Ｃの少なくとも一方を読んだ生徒は４４人
（ｆ）　Ｂ，Ｃの少なくとも一方を読んだ生徒は２５人
（ｇ）　Ａ，Ｂ，Ｃのうちどれか１種類だけを読んだ生徒は３１人

（１）　クラスの生徒数に対して、Ａを読んだ生徒の割合は（　　）％であり、Ｂを読んだ生徒の
　　　割合は（　　）％である。また、（ｂ）（ｄ）（ｆ）から、Ｃを読んだ生徒は（　　）人であり、その
　　　割合は（　　）％である。
（２）　Ａ，Ｃの両方を読んだ生徒は（　　）人であり、Ａ，Ｂの両方を読んだ生徒は（　　）人であ
　　　る。
（３）　Ａだけを読んだ生徒は（　　）人である。また、Ｂだけを読んだ生徒は（　　）人である。
（４）　Ａ，Ｂ，Ｃをすべて読んだ生徒は（　　）人である。Ａ，Ｂ，Ｃのどれも読まなかった生徒は
　　　（　　）人である。
（５）　Ａ，Ｂの少なくとも一方を読んだ生徒は（　　）人である。

　ベン図から平面が、２³＝８個の区画に分かれるので、各区画に　ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇ、ｈ
と未知数をおいて、連立方程式を立てれば容易に解かれることだろう。

　私自身、このような問題に対しては、円を３つ書いて条件を当てはめて解いてきたが、Ａ、
Ｂ、Ｃ、Ｄ、・・・と集合が４つ以上ある場合に、どのように円を描くのか、一瞬途方に暮れてし
まう。（もっとも、集合が４つ以上あるときの個数定理を使う問題は私自身まだ見たことがないが．．．。）

　また、ベン図は、細かい条件を記入するときに書きにくいという弱点を常々感じていた。

　このような場合、次のような表形式にすると、集合が何個あっても問題は起こらないという
ことを、

　　　長岡亮介　著　　「東大の数学入試問題を楽しむ」　（日本評論社）

で最近学ぶことができた。

　　よって、　ｃ＝２３−２３＝０　、ｄ＝４２−３５＝７　で、　ａ＝１１−７＝４

　　式を整理して、　ｂ＋ｅ＝３１　、ｂ＋ｆ＝１２　より、　ｅ−ｆ＝１９

　　よって、　ｅ＝（２９＋１９）/２＝２４　、ｆ＝（２９−１９）/２＝５　より、　ｂ＝７

　　　ｈ＝５０−（４＋７＋０＋７＋２４＋５＋２）＝５０−４９＝１

　基本的に、連立方程式を解くことに変わりはないが、作図段階で苦労することなく立式が
出来る点で、これはまさにベン図の限界からの解放といっても言い過ぎではないだろう。


（追記）　平成２９年３月１２日付け

　集合論において、ベン図は状況の理解に活躍する。基本的な問題は

　　　　

などのベン図を描くことにより、視覚的に解くことができる。

　ここで非常に残念な結果が知られている。

　　４つの円では、ベン図を作ることはできない

　そんなわけで、長岡亮介先生の手法に流れるか、包除原理のお世話になるかのどちらか
なのだろう。

　でも、これでめげてはいけない。

　４つの円ではベン図は作れないが、４つの長方形ではベン図は作れる

ことが知られている。例えば、次のように考えればよい。

　　　　

　また、４つの楕円でもベン図を作ることができる。

　　　


（追記）　平成２９年３月１９日付け

　Ｓ（Ｈ）さんより、「４つの円では、ベン図を作ることはできない」の証明が掲載されている
ＨＰサイト「Are Venn Diagrams Limited to Three or Fewer Sets?」をご紹介いただきました。