２直線 ｙ＝ｍｘ 、ｙ＝ｍ’ｘ が垂直であるための必要十分条件は、傾きの積が−１、即ち、
ｍ・ｍ’＝−１ であることはよく知られた事実である。
大阪大学など近年の入試問題を見ていると、このような基本的事項の証明を問う問題が
花盛りである。その対策を兼ねて、証明のいろいろをまとめておこう。
以下で、Ｏ（０，０）、Ａ（１，ｍ）、Ｂ（１，ｍ’）、Ｈ（１，０）、Ｈ’（ｍ，０）、Ｂ’（ｍ，ｍｍ’）とする。
（１） △ＯＡＢに三平方の定理を適用
ＯＡ2＋ＯＢ2＝ＡＢ2 より、 １＋ｍ2＋１＋ｍ’2＝（ｍ−ｍ’）2 よって、 ｍ・ｍ’＝−１
（２） ベクトルＯＡ、ＯＢの内積を計算
ＯＡ・ＯＢ＝１＋ｍｍ’＝０ より、 ｍ・ｍ’＝−１
（３） 複素数ＯＡの回転を利用
（１＋ｉ・ｍ）・ｉ＝−ｍ＋ｉ より、 ｍ’＝１/（−ｍ） よって、 ｍ・ｍ’＝−１
（４） △ＯＡＨ∽△ＢＯＨ より、 ｍ/１＝１/（−ｍ’） よって、 ｍ・ｍ’＝−１
（５） △ＯＡＨ≡△Ｂ’ＯＨ’ より、 −ｍ’・ｍ＝１ よって、 ｍ・ｍ’＝−１
他にもいろいろ証明があると思われるが、入試問題の解答例としては、（１）を採用するの
が無難だろう。
