数学ＩＩＩで学ぶ無理方程式、例えば、√（２−ｘ）＝ｘ の解は１しかない。しかし、代数的に
解く過程、すなわち、
√（２−ｘ）＝ｘ の両辺を平方して、 ２−ｘ＝ｘ2 から、ｘ2＋ｘ−２＝０
よって、 （ｘ＋２）（ｘ−１）＝０ より、 ｘ＝−２、１
を見ると、本来解ではない値「−２」が紛れ込む。ｘ＝−２は無理方程式 −√（２−ｘ）＝ｘ
の解である。
なぜ、このようなことが起こるかと問われれば、「両辺を平方する」段階で同値変形が崩
れているからと答えれば十分だろう。
無理方程式の場合は、ｙ＝√（２−ｘ）、ｙ＝−√（２−ｘ）のグラフと直線 ｙ＝ｘ の交わり方
を考えれば合点がいく。
それでは、次の事例はどうだろうか？
問題 円 ｘ2＋ｙ2＝１ と放物線 ｙ＝（1/4）ｘ2−１ の交点の座標を求めよ。
４次方程式を避けるために、ある方が次のように解いた。
円 ｘ2＋ｙ2＝１ に放物線 ｘ2＝４ｙ＋４ を代入して、 ｙ2＋４ｙ＋３＝０ より、
（ｙ＋１）（ｙ＋３）＝０ よって、 ｙ＝−１、−３
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円と放物線を描いてみれば、答えは、「ｙ＝−１」となるはずなのだが、「ｙ＝−３」は、どん
な訳があって突然出現したのだろう？「ｙ＝−３」のとき、実数 ｘ が存在しないとして簡単に
除外はできるのだが．．．。
この現象は、次のように解けば回避される。
円 ｘ2＋ｙ2＝１ に放物線 ｙ＝（1/4）ｘ2−１ を代入して整理すると、 ｘ2（ｘ2＋８）＝０
よって、 ｘ＝０、ｙ＝−１ から、交点は、（０，−１）
さて、「ｙ＝−３」には、どんな意味があるのだろう。
ｘｙ 平面では、円 ｘ2＋ｙ2＝１ だが、ｘ を純虚数 ｘ＝ｔ・ｉ （ｉ は虚数単位）とすると背景が見え
てくる。
−ｔ2＋ｙ2＝１ より、 ｔ2−ｙ2＝−１ これは、原点中心で ｙ 軸に焦点を持つ双曲線である。
この式に、ｙ＝−（1/4）ｔ2−１ より、ｔ2＝−４ｙ−４ を代入して、ｙ2＋４ｙ＋３＝０
すなわち、 ｙ＝−１、−３ となるが、
ｙ＝−１ のとき、 ｔ＝０ 、ｙ＝−３ のとき、 ｔ＝±２
（コメント） ｙ＝−１ のときは、２曲線は確かに接しているが、ｙ＝−３ のときは、２曲線は交
わってしまう。だから、不適なんですね！
（参考） 当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんがこの話題について考察されている。
（→ 平成２５年７月１５日付け Ｓ（Ｈ）さんの話題）
