・累乗数の和　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　Ｖ 氏

　任意の整数ｎについて、自然数ｋが存在して、ｎ＝±１±２±３±…±ｋ　となる。

例　０＝１＋２−３
　 　１＝１
　　 ２＝１−２＋３
　　 ３＝１＋２
　　 ４＝１＋２−３＋４
　　 ５＝１−２−３＋４＋５
　　 ６＝１＋２＋３
　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　任意の整数ｎについて、自然数ｋが存在して、ｎ＝±１²±２²±３²±・・・±ｋ² となる。

例　０＝−１²−２²＋３²−４²＋５²＋６²−７²
　　 １＝１²
　　 ２＝−１²−２²−３²＋４²
　　 ３＝−１²＋２²
　　 ４＝−１²−２²＋３²
　　 ５＝１²＋２²−３²−４²＋５²
　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　任意の整数ｎについて、自然数ｋが存在して、ｎ＝±１³±２³±３³±…±ｋ³ となる。

例　０＝−１³−２³＋３³−４³＋５³＋６³＋７³−８³−９³＋１０³＋１１³−１２³
　　 １＝１³
　　 ２＝−１³−２³＋３³−４³−５³＋６³＋７³−８³＋９³−１０³−１１³＋１２³
　　 ３＝−１³−２³−３³−４³−５³＋６³−７³−８³＋９³＋１０³−１１³−１２³＋１３³
　　 ４＝−１³−２³＋３³＋４³−５³＋６³＋７³−８³
　　 ５＝−１³＋２³＋３³−４³＋５³−６³＋７³＋８³−９³
　　 ６＝１³−２³＋３³＋４³−５³＋６³＋７³−８³
　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


　以上の３つの命題は、正しいようです。４乗以上の場合は、どうでしょうか？


（コメント）　任意の整数が表せると自信を持っては言えないです．．．。


　平成２５年６月１８日付けで、ＨＮ「数々の和」さんから、

　３乗和について、すべての自然数ｎが、±１³±２³±３³±…±ｋ³ で表される

ことが確認されたとの報告をメールでいただいた。

　あるｎが、１〜ｋで表現したとすると、恒等式

-(k+1)³+(k+2)³+(k+3)³-(k+4)³+(k+5)³-(k+6)³-(k+7)³+(k+8)³=48

を付け加えれば、ｎ+48が作れるので、47までについて頑張ればいい。

　4乗数について同じような恒等式を作ると、1536という値が出てきて1535以下のすべての
数が表現できることが確認されればよいが、手計算では無理である。

（コメント）　数々の和さん、ありがとうございます。何かスッキリした気分です！


　この話題に関連して、ＧＡＩさんが「運動会での均等分け」と題して、次のような問題を作ら
れた。（平成２５年６月２０日付け）

　運動会で１〜１６の各メンバーを赤組、青組に均等に２分し、それぞれのメンバーの１乗
和、２乗和、３乗和が各組で相等しくなるように分割してください。同じく、１〜２４のメンバー
についても同様な分け方を行ってください。


　この問題を、攻略法さんが考察されました。（平成２５年６月２０日付け）

　１〜１６だと、次の１通り。

0=+1^1-2^1-3^1+4^1-5^1+6^1+7^1-8^1-9^1+10^1+11^1-12^1+13^1-14^1-15^1+16^1
0=+1^2-2^2-3^2+4^2-5^2+6^2+7^2-8^2-9^2+10^2+11^2-12^2+13^2-14^2-15^2+16^2
0=+1^3-2^3-3^3+4^3-5^3+6^3+7^3-8^3-9^3+10^3+11^3-12^3+13^3-14^3-15^3+16^3


　１〜２４だと、次の８通り。

　３乗和のみ記載すると、

0=+1^3-2^3-3^3-4^3+5^3+6^3+7^3+8^3-9^3+10^3-11^3-12^3-13^3-14^3+15^3-16^3+17^3+18^3+19^3+20^3-21^3-22^3-23^3+24^3

0=-1^3+2^3+3^3-4^3-5^3+6^3+7^3+8^3-9^3-10^3-11^3-12^3+13^3+14^3-15^3+16^3+17^3-18^3+19^3-20^3+21^3-22^3-23^3+24^3

0=-1^3+2^3+3^3-4^3+5^3-6^3+7^3-8^3-9^3+10^3-11^3-12^3+13^3+14^3+15^3+16^3-17^3-18^3-19^3+20^3+21^3-22^3-23^3+24^3

0=+1^3-2^3-3^3+4^3+5^3-6^3-7^3+8^3-9^3+10^3-11^3+12^3+13^3-14^3+15^3-16^3+17^3-18^3-19^3+20^3+21^3-22^3-23^3+24^3

0=+1^3-2^3+3^3-4^3-5^3-6^3+7^3+8^3+9^3-10^3+11^3-12^3-13^3+14^3-15^3+16^3+17^3+18^3-19^3-20^3-21^3+22^3-23^3+24^3

0=+1^3-2^3+3^3-4^3-5^3+6^3-7^3+8^3-9^3-10^3+11^3+12^3+13^3+14^3-15^3-16^3+17^3-18^3+19^3-20^3-21^3+22^3-23^3+24^3

0=+1^3-2^3+3^3-4^3+5^3-6^3-7^3-8^3-9^3+10^3+11^3+12^3+13^3+14^3+15^3-16^3-17^3-18^3-19^3+20^3-21^3+22^3-23^3+24^3

0=+1^3+2^3-3^3-4^3-5^3-6^3+7^3-8^3+9^3-10^3+11^3+12^3+13^3+14^3-15^3+16^3-17^3+18^3-19^3-20^3-21^3-22^3+23^3+24^3


（コメント）　１乗和、２乗和、３乗和が各組で相等しくなる場合があるということに感動しまし
　　　　　　た！攻略法さんに感謝します。