(1+1/1)*(1-1/3)*(1+1/5)*(1-1/7)*(1+1/9)*(1-1/11)*(1+1/13)*(1-1/15)*・・・・
はいかなる値に収束すると予想されますか？
（コメント） 頑張って、(1+1/1)*・・・*(1-1/799) まで計算してみたら、
1.41372237936773
この値から収束する値を予想すると、
かな？（追記） 平成２５年５月１５日付け
私は、２０００万個の積で計算させることで小数第７桁位までが一致してきたので信じてし
まいました。できたらどなたか証明やら、説明を加えてください。
（コメント） もう少し頑張って、(1+1/1)*・・・*(1-1/32767) まで（Excel ＶＢＡの限界？）計算
してみたら、
1.41420245170593
となりました。多分丸め誤差がたくさん入っていると思われますが、数字の並びを
見て、予想から確信に変わりました！（１回使ってみたかったフレーズ．．．ｆ(^^;) ）
空舟さんからのコメントです。（平成２５年５月１５日付け）
（2/1）（2/3）（6/5）（6/7） ・・・ において、
2*2*6*6/1*3*5*7=42 * (1*3)2/(1*3*5*7) =42 * (4!/22*2!)2/(8!/4!*24)
これより、 2k番目の一般項は、
4k*(2k!/k!)2/4k!/2k!= 4k*(2k!)3/(4k!) (k!)2= 4k*2kCk/4kC2k
「Yahoo!知恵袋」によれば、
2kCk は 4k/√(2k) に近くなるらしい？ ・・・ [*]
4kC2k は 42k/√(4k) に近くなることになる。
これを適用してみると、
になると思います。２つの方法の結果は近い数字ですが微妙に違いました。私がコンピュータで計算すると
むしろ
っぽかったです。追記： [*] について考察してみました。離散確率変数P(ｘ)= 2kCx/22k とおく。すなわち、当
たる確率1/2の試行を2k回したとき、ｘ回当たる確率である。この分布は、平均 2k/2、
分散 2k/4 の正規分布に近づくことが知られている。
連続確率変数としてみた時の ｘ=ｋ での値は、分散σ2 = 2k/4 である正規分布の係
数＝1/√(2πσ2) に近づくと考えられる。σを代入すると1/√(πk)
・・・ ちょっと違いましたね。
まあ、そこの係数はそのあと約分されるので、同じ結果です。
追記： ところで、2kCk で連想したのですが、2kCk を考察して、「nと2nの間に素数がある」を
証明する発想が紹介されているのを最近見て、大変面白いと思いました。
攻略法さんからのコメントです。（平成２５年５月１９日付け）
いかなる値に収束すると予想されますか？とのことですが、Cantor積 無限乗積か！？
(1+1/1)(1-1/3)(1+1/5)(1-1/7)(1+1/9)(1-1/11)(1+1/13)(1-1/15) …
=(2/1)(2/3) (6/5)(6/7) (10/9)(10/11) (14/13)(14/15) …
2つずつにすると、
=(4/3) (36/35) (100/99) (196/195) …
ところで、
= 1.41421356 だから、 1+1/3 = 1.33333333 ＜ ＜ 1+1/2よって、 1 ＜ (3/4)
＜ (3/2)(3/4) = 9/8 = 1.12500000(3/4)
= 1.06066017 だから、 1+1/35 = 1.02857143 ＜ (3/4) ＜ 9/8+1/34よって、1 ＜ (3/4)(35/36)
＜ (157/136)(35/36) = 5495/4896 = 1.12234477(3/4)(35/36)
= 1.03119739 だから、 1+1/99 = 1.01010101 ＜ (3/4)(35/36)
＜ 5495/4896+1/98よって、
1 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)
＜ (271703/239904)(99/100) = 2988733/2665600 = 1.12122336
(3/4)(35/36)(99/100)
= 1.02088541 だから、1+1/195 = 1.00512821 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)
＜ 2988733/2665600+1/194よって、
1 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)
＜ (291239901/258563200)(195/196) = 11358356139/10135677440 = 1.12063118
(3/4)(35/36)(99/100)(195/196)
= 1.01567681 だから、1+1/323 = 1.00309598 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)
＜ 11358356139/10135677440+1/322よって、
1 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)
＜ (261966168157/233120581120)(323/324) = 4977357194983/4443004016640 = 1.12026844
(3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)
= 1.01254201 だから、1+1/483 = 1.00207039 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)
＜ 4977357194983/4443004016640+1/482
よって、
1 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)
＜ (1201764585999223/1070763968010240)(483/484)
= 1201764585999223/1072980870635520 = 1.12002424
(3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)
= 1.01044998 だから、1+1/675 = 1.00148148 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)
＜ 1201764585999223/1072980870635520+1/674
よって、
1 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)(675/676)
＜ (405531155917055911/361594553404170240)(675/676)
= 2027655779585279555/1810651245194215424 = 1.11984889
(3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)(675/676)
= 1.00895523 だから、1+1/899 = 1.00111235 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)(675/676)
＜ 2027655779585279555/1810651245194215424+1/898
よって、
1 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)(675/676)(899/900)
＜ (911322770656387627907/812982409092202725376)(899/900)
=819279170820092477488393/731684168182982452838400 = 1.11971696
(3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)(675/676)(899/900)
= 1.00783417 だから、1+1/1155 = 1.00086580 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)(675/676)(899/900)
＜ 819279170820092477488393/731684168182982452838400+1/1154
よって、
1 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)(675/676)(899/900)(1155/1156)
＜ (473089923647284850737221961/422181765041580875287756800)(1155/1156)
= 473089923647284850737221961/422547290379279213707919360 = 1.11961415
(3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)(675/676)(899/900)(1155/1156)
= 1.00696234 だから、
1+1/1443 = 1.00069300
＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)(675/676)(899/900)(1155/1156)
＜ 473089923647284850737221961/422547290379279213707919360+1/1442
よって、
1 ＜ (3/4)(35/36)(99/100)(195/196)(323/324)(483/484)(675/676)(899/900)(1155/1156)(1443/1444)
＜ (48758444084983145284055856223/43522370909065759011915694080)(1443/1444)
= 1804062431144376375510066680251/1611443681863870667005288775680 = 1.11953179
（コメント） 攻略法さんは、だんだん１に近づくということを実験したのかな？ただ、収束が非
常に遅いので、ちょっと人力で、１．００・・・まで行くのは大変そうな．．．予感！
ａｔさんからのコメントです。（平成２６年８月３１日付け）
「(1+1/1)*(1-1/3)*(1+1/5)*(1-1/7)*(1+1/9)*(1-1/11)*(1+1/13)*(1-1/15)*・・・・」の無限積
がどのような値になるのか、気になったので調べてみました。
「岩波 数学公式 2 級数・フーリエ解析」 (岩波書店) の85頁に次の公式が載っています。
Πn=1〜∞ (1+(-1)nx/(2n-1))=cos(πx/4)-sin(πx/4)
この公式において、x=-1 とすれば、与式=cos((-π)/4)-sin((-π)/4)=
となります。ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年８月３１日付け）
随分前(平成２５年４月２７日付け・・・出会いの泉）にアップしていたんですね。すっかり忘
れていました。メモをどこに書いていたのか探しましたが、どうしても見つけ出せませんでし
た。何かの本に書いてあったと思いますが思い出せません。不思議だったのでメモしていた
のでしょう。
ヘェ〜こんな等式が成立するのですね。奇数だけで構成できるなんてやっぱり無限の世界
は奥深いですね。
