・ｎ^ｎの最下位 　　　　　　 　　　 　 　 　　 　 　 　 　空舟氏

　私の考察です。

　n=2632817 とすると、ｎ^ｎ の下7桁に、7が7つ並ぶと思います。一般に、10と素であるような

任意の整数ａに対して、ｎ^ｎ の最下位にａが現れるようなｎを得ることができると思います。

　ということは、ｍとｎが10と素であるという前提では、

　　　ｍ^ｍ≡ｎ^ｎ　(ｍｏｄ　10^k)　⇔　ｍ≡ｎ　(ｍｏｄ　10^k)

という同値が成り立つと思います。

　ここで、上記の同値が成り立つと思うのは、k≧2 です。k=1では、その同値は成り立たない

ようです。


（コメント）　実験してみた。

　ｋ＝２ のとき、　101≡1　(ｍｏｄ　100) において、

　　１０１¹⁰¹＝（100＋1）¹⁰¹＝１＋101×100＋・・・≡1＝１¹　(ｍｏｄ　100)

　111≡11　(ｍｏｄ　100) において、

　　１１１¹¹¹＝（100＋10＋1）¹¹¹＝（10＋1）¹¹¹＋・・・＝1＋111×10＋・・・

　よって、　１１１¹¹¹＝1111＋・・・≡11　(ｍｏｄ　100)

　一方、　１１¹¹＝（10＋1）¹¹＝１＋11×10＋・・・＝111＋・・・≡11　(ｍｏｄ　100)

　以上から、　１１１¹¹¹≡１１¹¹　(ｍｏｄ　100)　が成り立つ。

　すなわち、　111≡11　(ｍｏｄ　100) 　ならば、　１１１¹¹¹≡１１¹¹　(ｍｏｄ　100)