いま大学入試センター試験といわれるものが、共通一次試験といわれていた昭和５９年１月の
本試験で、世の数学教育関係者（予備校も含む）を騒然とさせた問題が出題された。高校数学
の範囲を超えた問題であるとか、数の本質をつく良問であり高校生でも十分対処できるとか、い
ろいろ意見が出された。この種の問題がその後出題されていないことを考えると、相当出題者と
しても冒険だったのだろう。私個人としては、魅力的で好きな問題であったが・・・！？
次の２つの数の大小を比較せよ。 （４）
（共通一次 昭和５９年）
は直ぐ分かるのだが、問題は 
すなわち、 
の方である。分数指数は、累乗根という明確な意味付けがあるが、無理数乗は、高校数学では、グラフで誤
魔化し、あまり、はっきりした意味付けを与えていない。
実際に、
の値を求めれば、簡単な対数計算と対数表から、おおよそ２．６６５１・・・位である。もっとも、共通一次試験で要求されたことは、詳しい値を求めることにあるのではなくて、
単なる大小比較なので、次のように解かれるのが普通である。
１＜
＜１．５ より、２＜＜
＜３ よって、
無理数乗は、無理数に収束する数列を考え、そのべき乗の極限値として定義されるので、あ
まりしっくりこないが、値は厳然と存在する。次の無理数乗は特に面白い。
漸化式
で定まる数列 
を考える。左辺は、この数列の極限である。
であることから、数学的帰納法により、数列
は上に有界で、単調に増加する数列である。したがって、収束するので、その極限値を α とおく。 α は、次の方程式を満たす。
この方程式の解は、２ または ４ であるが、上の議論から、極限値 α の値は、２ であること
が分かる。
（参考文献：一松 信 著
の数学（海鳴社））（追記） ＨＮ「ＧＡＩ」さんから、無理数乗に関連する話題を頂きました。
（平成２５年１月２日付け）
無理数の無理数乗は必ずしも無理数ではありません。例を上げて下さい。
らすかるさんが考察されました。（平成２５年１月２日付け）
eとlog2は無理数ですが、elog2（=2）は有理数です。
当ＨＰ読者のＨＮ「Ｖ」さんが考察されました。（平成２５年１月２日付け）
{(
)
}（＝２） がその例になっていると思いますが、「() が無理数」の証明は、結構難しいようですね。（初等的な証明をご存知なら教えてください）
（追記） 上記と同じ内容を、ＧＡＩさんよりご投稿いただいた。（平成２９年６月１９日付け）
一般に、（無理数）＾（無理数）が有理数の結果になる例をなるだけいろいろなパターン考え
てほしい。
らすかるさんが考察されました。（平成２９年６月１９日付け）
aを1でない正の有理数、bを有理数でない代数的数 とすると、a^(1/b) は無理数であり、
{a^(1/b)}^b=a で、 (無理数)^(無理数)=(有理数) の例になっている。
DD++さんが考察されました。（平成２９年６月１９日付け）
a を無理数、b を有理数として、a^(log[a]b) のほとんどのもの、とか．．．。
（追記） 令和２年３月１４日付け
無理数の無理数乗は無理数か？という問いかけは、命題の真偽判定で出そうな問題であ
る。この命題が偽であることを示す問題が横浜市立大学医学部前期（２０２０）で出題された。
は無理数であることを既知とすれば、ｘ＝
、ｙ＝として、ｘｙが有理数２になることは自明である。問題は、ｘが無理数であることを示せば終わりであるが、直接的にｘが無
理数であることを示せなくても、次のようにすれば、命題が偽であることが分かる。
ｘ＝
が無理数のとき、無理数ｙ＝に対して、 ｘｙが有理数２ となる。ｘ＝
が有理数のとき、無理数ｘ＝ｙ＝に対して、 ｘｙが有理数となる。以上から、 命題： ｘ、ｙが無理数のとき、ｘｙは無理数 は、偽である。
別な例としては、上記でDD++さんがあげられているように、
ｘ＝
、ｙ＝ｌｏｇ2９ のとき、 ｘｙ＝＾ｌｏｇ2９＝２＾ｌｏｇ2３＝３ｘ＝
が無理数は既知として、ｙ＝ｌｏｇ2９ が無理数であることは次のようにして示される。ｌｏｇ2９ が有理数であると仮定すると、 ｌｏｇ2９＝ｍ/ｎ （ｍ、ｎは互いに素な自然数） と
書ける。
このとき、 ２ｍ＝９ｎ であるが、 偶数＝奇数 となり矛盾。
よって、ｙ＝ｌｏｇ2９ は無理数である。
他の例としては、上記で、らすかるさんにより与えられた例：
e と ｌｏｇ２ は無理数ですが、elog2（＝２）は有理数
もある。
