・定積分の定義　 　 　 　　 　　 　 　 　　 　 　よおすけ氏

　以下に挙げるものは完全な証明ではないことを断っておきます。

　関数 f(ｘ) は閉区間 [ａ，ｂ] で連続とする。この区間を n-1 個の点 ｘ₁、ｘ₂、・・・、ｘ_n-1 で、
ｎ個の小区間に分け、それらの小区間内にそれぞれ任意の点 t₁、t₂、・・・、t_n をとって、

　　和 S[n]＝f(t₁)(ｘ₁-ｘ₀)+f(t₂)(ｘ₂-ｘ₁)+・・・+f(t_n)(ｘ_n-ｘ_n-1)＝Σ_k=1〜n f(t_ｋ)(ｘ_ｋ-ｘ_ｋ-1)
　　　　　　　※ただし、x[0]=a、x[n]=b
を作る。

　それぞれの小区間の長さが0に近づくようにｎを限りなく大きくするとき、点t_ｋ (k=1〜ｎ)の
取り方にかかわらず、和S[n]は一定の値に限りなく近づく。

　この極限値を、連続関数 f(ｘ)のａからｂまでの定積分といい、∫_a^b f(ｘ)ｄｘ　で表す。

（出典）　高校数学解法事典(三訂版発行1982年3月1日 重版1992年)
　　　　※一部書き換えしています。


（コメント）　懐かしい定積分の定義ですね！昔、高校生のとき、教わりました。以前の数学
　　　　　　�Vは、区分求積法から定積分を定義し、その後、微積分の基本公式を証明してい
　　　　　　ました。今の学習指導要領は、先に、微積分の基本公式を定義として出発するの
　　　　　　で全くの天下り式です。これでは、積分の本質が掴めないかも．．．。

　高木貞治　著「解析概論」では、点 t₁、t₂、・・・、t_n のかわりに、各小区間における上限、
下限という概念を用いて証明しています。点 t₁、t₂、・・・、t_n を用いるのは高校生に配慮し
ての親心でしょうか？


（追記）　平成２５年３月１６日付け

　天下り式の記述があるものといったら、行列式もかな・・と思います。「行列式の定義をす
るのになんで、行列を用いるの？」みたいな・・・、話が脱線してしまいました。