・最近面白かったこと２ 　 　　　　　 　　　 　 　　Ｓ．Ｈ．氏

　 東京理科大学　理学部（平成２５年度）の入試問題２番が面白そうに見えたので考えてみ
た。（平成２５年２月１５日付け）

　正の整数ｍについて、

　　　ｌｏｇ₁₀ｍが有理数ならば、ｌｏｇ₁₀ｍは整数であることを証明せよ。

　何か当たり前のような事実であるが、いざ証明をと言われてしまうと、慣れていない人に
は手強い問題かもしれない。

（証明）　ｌｏｇ₁₀ｍ＝ｑ/ｐ　（ｐ、ｑは互いに素な整数で、ｐ＞０）　とおけるので、

　　　　１０^ｑ/ｐ＝ｍ　すなわち、　ｍ^p＝１０^q＝２^q・５^q

　　　　ｍは２でも５でも割り切れるので、　ｍ＝２^ａ５^ｂ　（ａ、ｂは整数）とおける。

　　　　よって、　ｍ^p＝２^ａｐ５^ｂｐ＝２^q・５^q　より、　ａｐ＝ｑ　、ｂｐ＝ｑ　なので、

　　　　　ａ＝ｂ＝ｑ/ｐ＝ｃ　（ｃは整数）　とおける。

　　　　このとき、　ｍ＝１０^ｃ　より、　ｌｏｇ₁₀ｍ＝ｃ　は整数となる。　（証終）

　同様に、

　２つの正の整数ｍ、ｎについて、

　　　^ｎ√ｍが有理数ならば、^ｎ√ｍは整数であることを証明せよ。

（証明）　^ｎ√ｍ＝ｑ/ｐ　（ｐ、ｑは互いに素な整数で、ｐ＞０）　とおけるので、

　　　　ｍ＝ｑ^ｎ/ｐ^ｎ　となるが、ｍは整数なので、ｐ^ｎ＝１　すなわち、ｐ＝１

　　　　このとき、　ｍ＝ｑ^ｎ　より、　^ｎ√ｍ＝ｑ　は整数となる。　（証終）

　この事実の応用として、

問題　√１、√２、√３、・・・・、√２０１２、√２０１３　のうち無理数はいくつあるか？

は、とても基本的な問いである。この問いの解決に上記の事実が本質的な役割を果たす。

（解）　√１、√２、√３、・・・・、√２０１２、√２０１３　において、

　　　√１＝１、√４＝２、√９＝３、・・・・、√１９３６＝４４、√２４７５＝４５

　より、整数は４４個ある。したがって、無理数は、２０１３−４４＝１９６９（個）