・最近面白かったこと　　　　　　　　　 　　　 　 　　ＧＡＩ 氏

　当ＨＰ掲示板「出会いの泉」（平成２５年２月１３日付け）からの転載です。

　(ｘ+c₁)(ｘ+c₂)(ｘ+c₃)・・・(ｘ+c_n)　を展開したとき、

　ｘⁿ+σ₁ｘ^n-1+σ₂ｘ^n-2+σ₃ｘ^n-3+σ₄ｘ^n-4+・・・+σ_n-1ｘ+σ_n

ここで、

　　σ₁=c₁+c₂+c₃+…+c_n
　　σ₂=c₁c₂+c₁c₃+c₁c₄+…+c_n-1c_n
　　σ₃=c₁c₂c₃+c₁c₂c₄+c₁c₂c₅+…+c_n-2c_n-1c_n
　　σ₄=c₁c₂c₃c₄+c₁c₂c₃c₅+…+c_n-3c_n-2c_n-1c_n
　　　　　・・・・・・・・・・・・・
　　σ_n=c₁c₂c₃…c_n

とする。（基本対称式）

このとき、

　　S₁=c₁+c₂+c₃+…+c_n
　　S₂=c₁²+c₂²+c₃²+…+c_n²
　　S₃=c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³
　　S₄=c₁⁴+c₂⁴+c₃⁴+…+c_n⁴
　　　　　・・・・・・・・・・・・・
　　S_n=c₁^ｎ+c₂^ｎ+c₃^ｎ+…+c_n^ｎ

に対して、ニュートンの公式

　　　S₁-σ₁=0
　　　S₂-S₁σ₁+2σ₂=0
　　　S₃-S₂σ₁+S₁σ₂-3σ₃=0
　　　S₄-S₃σ₁+S₂σ₂-S₁σ₃+4σ₄=0
　　　　　・・・・・・・・・・・
　　　　　・・・・・・・・・・・

が成立する。

（この証明方法がちょっと感動的です。ニュートンはオイラーなどの仕事の成果を参考にした
でしょうが、その洞察力や式変形の感性は秀逸です。）

　この成果を利用して、c₁、c₂、c₃、…、c_n　を自然数 1、2、3、…、n　に選んで、このσ₂、
σ₃、σ₄ に相当するものを求めてみました。

　改めて、S₂(n)、S₃(n)、S₄(n) で表記すると

S₂(n)=1・2+1・3+1・4+…+(n-1)・n　（異なる２つずつの積の和）

　    =(n-1)n(n+1)(3n+2)/24=(n+1)n(n-1)[(3n+2)/(2³・3)]

　　（参考）　（1+2+3+・・・+n）²=1²+2²+3²+・・・+n²+2S₂(n) より、

　　　　　　　S₂(n)=｛ｎ²(ｎ+1)²/4-n(n+1)(2n+1)/6｝/2
　　　　　　　　　　=n(n+1)(3n²+3n-4n-2)/24=n(n+1)(3n²-n-2)/24=n(n+1)(n-1)(3n+2)/24

S₃(n)=n²(n+1)²(n-1)(n-2)/48　（異なる３つずつの積の和）
      =(n+1)n(n-1)(n-2)[(n²+n)/(2⁴・3)]

S₄(n)=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(15n³+15n²-10n-8)/5760（異なる４つずつの積の和）

　 　 =(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)[(15n³+15n²-10n-8)/(2⁷・3²・5)]

　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　以下どこまでもS_r(n)をｎの式で表すことができることになる。
（だんだん面倒になったのでここで止めています。）

　式の第２の表現で、一般式がどうなるだろうかと考えましたが、どうもうまく法則が見えませ
んでした。この辺りのことについて詳しい方、何か面白い応用はありませんか？


　攻略法さんからのコメントです。（平成２５年２月１５日付け）

　式の第２の表現での一般式について、

　　Ａ０００９１４　・・・　2個　、Ａ００１３０３　・・・　3個　、Ａ０００９１５　・・・　4個

　k個は、1種スターリング数　S₁(n+1，n+1-k)


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年２月１５日付け）

　ほ〜ここに出てくるんですね！以前にこの数字の性質について調べたことがあったので、
その時のメモを振り返ってみます。なんか別々だったものが、ここでつながった感じがしま
す。色々な概念は深いところでお互い通じ合っていることが起こっているんですね。貴重な
情報ありがとうございました。