・ 上手い計算 S.H氏
逆関数の計算は、Y=F(X) の形の関数を、X=F(Y) とし、これを解いて、Y=G(X) の形にす
ればよい。逆関数のグラフは、もとの関数のグラフと直線 Y=X に関して対称、という優れた
性質を持っているので、グラフの洞察に有効である。しかしながら、現行の学習指導要領では、
逆関数の指導は数学Vにあり、数学Uにおける指数関数・対数関数の指導には生かせない。
私が高校生の頃、逆関数の話は高校1年であり、いろいろおもしろい問題にぶつかり、数学を
楽しませてもらった。この逆関数の計算は基本的な計算であり、国民的な素養とも考えられる
が、数学Vに項目設定されている以上、高校生の過半数は学習しない。これは憂慮されるべ
き事態である。
例 Y=2X の逆関数は、Y=(1/2)X
Y=log X の逆関数は、Y=ex
逆関数の計算は、置換積分においても活躍する。
次の関数の逆関数の計算は、みる人を唸らせるほど上手い計算であると私は思う。皆さんは
どうかな?
問題 関数 の逆関数を求めよ。
と変形し、
を得る。
この式を解いて、y を求める方法が少なくとも2つある。
(方法1) を考えるのが解法のポイントである。
なので、
すなわち、
(方法2) の両辺を平方して、
よって、 より、求められる。
(追記) 令和7年8月15日付け
次の東北大学 前期理系(1998)の問題は、逆関数の華麗な性質を示す問題である。
問題 (1) F(x)=ex/(ex+1) のとき、y=F(x)の逆関数 y=G(x)を求めよ。
(2) (1)のF(x)、G(x)に対し、次の等式が成り立つことを示せ。
∫ab F(x)dx+∫F(a)F(b) G(x)dx=bF(b)−aF(a)
(解)(1) y=ex/(ex+1) とおくと、 0<y<1 で、 ex=y/(1−y) より、
x=log(y/(1−y)) なので、 G(x)=log(x/(1−x)) ただし、0<x<1
(2) ∫F(a)F(b) G(x)dx において、 G(x)=y とおくと、 x=F(y) で、 dx=F’(y)dy
x=F(a) のとき、 y=a 、x=F(b) のとき、 y=b なので、
∫F(a)F(b) G(x)dx=∫ab yF’(y)dy
=[yF(y)]ab−∫ab F(y)dy=bF(b)−aF(a)−∫ab F(x)dx
より、 ∫ab F(x)dx+∫F(a)F(b) G(x)dx=bF(b)−aF(a) が成り立つ。 (終)