・　上手い計算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　逆関数の計算は、Ｙ＝Ｆ(Ｘ) の形の関数を、Ｘ＝Ｆ(Ｙ) とし、これを解いて、Ｙ＝Ｇ(Ｘ) の形にす
ればよい。逆関数のグラフは、もとの関数のグラフと直線 Ｙ＝Ｘ に関して対称、という優れた
性質を持っているので、グラフの洞察に有効である。しかしながら、現行の学習指導要領では、
逆関数の指導は数学�Vにあり、数学�Uにおける指数関数・対数関数の指導には生かせない。
私が高校生の頃、逆関数の話は高校１年であり、いろいろおもしろい問題にぶつかり、数学を
楽しませてもらった。この逆関数の計算は基本的な計算であり、国民的な素養とも考えられる
が、数学�Vに項目設定されている以上、高校生の過半数は学習しない。これは憂慮されるべ
き事態である。

例　Ｙ＝２Ｘ　の逆関数は、Ｙ＝(1/2)Ｘ
　　 Ｙ＝ｌｏｇ Ｘ　の逆関数は、Ｙ＝ｅ^ｘ

　逆関数の計算は、置換積分においても活躍する。

次の関数の逆関数の計算は、みる人を唸らせるほど上手い計算であると私は思う。皆さんは
どうかな？

　問題　　関数　　の逆関数を求めよ。

　　と変形し、　を得る。
この式を解いて、ｙ を求める方法が少なくとも２つある。

（方法１）　　を考えるのが解法のポイントである。
　
なので、
　　すなわち、
　

（方法２）　　の両辺を平方して、
　よって、 より、求められる。


（追記）　令和７年８月１５日付け

　次の東北大学　前期理系（１９９８）の問題は、逆関数の華麗な性質を示す問題である。

問題　　（１）　Ｆ（ｘ）＝ｅ^ｘ/（ｅ^ｘ＋１） のとき、ｙ＝Ｆ（ｘ）の逆関数 ｙ＝Ｇ（ｘ）を求めよ。

（２）　（１）のＦ（ｘ）、Ｇ（ｘ）に対し、次の等式が成り立つことを示せ。

　　∫_a^b Ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫_F(a)^F(b) Ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｂＦ（ｂ）−ａＦ（ａ）

（解）（１）　ｙ＝ｅ^ｘ/（ｅ^ｘ＋１）　とおくと、　０＜ｙ＜１ で、　ｅ^ｘ＝ｙ/（１−ｙ）　より、

　ｘ＝ｌｏｇ（ｙ/（１−ｙ））　なので、　Ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ（ｘ/（１−ｘ））　ただし、０＜ｘ＜１

（２）　∫_F(a)^F(b) Ｇ（ｘ）ｄｘ　において、　Ｇ（ｘ）＝ｙ　とおくと、　ｘ＝Ｆ（ｙ）　で、　ｄｘ＝Ｆ’（ｙ）ｄｙ

　ｘ＝Ｆ（ａ）　のとき、　ｙ＝ａ　、ｘ＝Ｆ（ｂ）　のとき、　ｙ＝ｂ　なので、

　∫_F(a)^F(b) Ｇ（ｘ）ｄｘ＝∫_a^b ｙＦ’（ｙ）ｄｙ

＝[ｙＦ（ｙ）]_a^b−∫_a^b Ｆ（ｙ）ｄｙ＝ｂＦ（ｂ）−ａＦ（ａ）−∫_a^b Ｆ（ｘ）ｄｘ

より、　∫_a^b Ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫_F(a)^F(b) Ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｂＦ（ｂ）−ａＦ（ａ）　が成り立つ。　　（終）


（追記）　令和７年１２月５日付け

　次の東北大学　後期理系（２００３）の問題も、逆関数に関する問題である。

問題　　Ｆ（ｘ）＝ｅ^x-c （ｃは定数）の逆関数をＧ（ｘ）とする。
（１）　Ｇ（ｘ）を求めよ。
（２）　ｙ＝Ｆ（ｘ）とｙ＝Ｇ（ｘ）のグラフの共有点の個数を求めよ。

（解）（１）　ｙ＝ｅ^x-c から、　ｘ−ｃ＝ｌｏｇ ｙ　すなわち、　ｘ＝ｌｏｇ ｙ＋ｃ

　よって、　Ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ ｘ＋ｃ

（２）　ｘ＝ｌｏｇ ｘ＋ｃ　の実数解の個数を調べればよい。

　ｃ＝ｘ−ｌｏｇ ｘ　において、ｙ＝ｘ−ｌｏｇ ｘ　とおくと、　ｙ’＝１−１/ｘ＝０　より、　ｘ＝１

　よって、ｙ＝ｘ−ｌｏｇ ｘ　は、ｘ＝１　において、極小かつ最小で、最小値は、１

　ｘ → ＋０　のとき、　ｙ → ＋∞　、　ｘ → ＋∞　のとき、　ｙ＝ｘ（１−（ｌｏｇ ｘ）/ｘ） → ＋∞

したがって、　ｃ＜１　のとき、共有点の個数は、０個

　ｃ＝１　のとき、共有点の個数は、１個

　ｃ＞１　のとき、共有点の個数は、２個　　（終）



　　以下、工事中！