・フィボナッチ数列の周辺 　 　 　　 　 　　 　　　　ＧＡＩ 氏

　フィボナッチ数列の周辺を調べていたら、ペラン(Perrin)数列という

　P(0)=3、P(1)=0、P(2)=2、P(n)=P(n-2)+P(n-3) for n＞2

の漸化式で定まっていく数列｛P(n)}に、素数とものすごい関係が存在しているという。

　詳しい説明は省略しますが、もし初めて聞いたという方は是非サイト等利用して調べてみ
て下さい。

　私もペラン数の1000個ほどについて確認したらぶったまげました。
（数学ソフトのmathematicaで、LinearRecurrence[{0,1,1},{3,0,2},1000] とタイプするだけで自動的に手に入るなん
　て有難いソフトです。このソフトはお勧めです。）

　そこで、サイトをいろいろ調べてみると、ウィキペディア「ペラン数」では、

　全ての素数pに対し、ペラン数P(p)が素数pで割り切れることが証明されている

という解説がされている一方、「ペラン数列のものすごい性質」では、

　ペラン数P(32771)は（4000桁になるという）素数 p=32771 で割り切れない

と紹介されていた。

　ここに紹介されている数があまりに大きくて、私の力量と知識では判断できません。
どなたか決着をつけて頂きたい。


　　　攻略法さんが考察されました。（平成２４年１２月２６日付け）

　　　　　UBASICで確認してみました。P(32771)は、素数 p=32771 で割り切れます。

　　　　　しかし、その逆は成立せず、ペラン数のP(n)がnで割り切れる合成数nが存在し、
　　　　（A013998参照）１０億未満の中にほんの17個しか存在していないこともこのペラン数
　　　　の面白さを物語っています。


　らすかるさんも考察されました。（平成２４年１２月２６日付け）

　P(32771)は32771で割り切れました。「ペラン数列のものすごい性質」が間違っていますね。

　「ペラン数」によると、P(32771)≒1.324718^32771≒1.279879…×10^4002 となりますが、
実際の計算結果も

1278526158202109235413232905190680026351431339344742923942462882655383733656946321583217205257535635
6165429776674604810558963050020719858977681740664841746660030404160344241492018288446952738386361320
1707673466088364485877103501025175411244343079624045473247896038083482327130922092089644978460440597
2467037765966996864927715441830297528043289342873572542883988957251405187544983903990797510740362834
4014356990888655239324660505788860366573731991515511299206674977588458627781998320344703073182869529
2018481653007130897554521290028428346544496826822900619913152567075293898967953377635744239036181423
8078716870606863355100236401210858654553660355225944260291086436330334013674627346620131900895654240
9738601535662358464875063732475661064385506653552511858845773543265223275551208029235891106362907675
6585528869835212619956479425947407312333877915466883237415003491519366647346952184717298681178934751
1493885580671246801607506618347378973053618735808004627328910535982370821227707112525227658167596097
4766972149526350939404968213760348971863558872828766321807319861885276658741280266044625723775504656
2482662699405198433417173649597121650205295443629415999336314537838684249021351417569714214345058309
6551392300053626478201599318768902474194410793730615603325010197801287080787916890803248208204521574
5179115270148281862969594429880747153209482309979699868274920366693999642057599647116369279722165681
8397487997710071472027481823766524404730835896915358356760609045325799331091449765813901242111947485
5108965904163955108892234481619633686646866105039277994759501010945205227704355732758960690456892782
9936652719854876701752785574209778747933036617209409599148853339809624167006366269655572968530085568
4439886887602899430122888306502744069714154295084392093260584136732145159864072991232563761533879349
1924125768846362830552169777967677508941466665392302871716343158892350736270583088683784108164577588
6193967477102441053190545257258736677338213093083135293179741066831632723068392924528794787941523477
7621667583470881687446490685587140541026645854232134108999436200458662985603303526764287477021109566
4629920418106114030479455141132974773851093591919457911696204331826465519379086007106988032280845720
2585112624677691692214282000767717452525594642162783281648886101544355228101789121400625956682844417
2534373690318594870123199965202627196994906500523976575970485267422009003600463105170082023662523253
5542651910624132042864695289661606574260261699067923543525665586360462316131754730785882462333038811
2093600972855936023701951379251123480866221643513383251111790733284823330109213777298316335149435206
6907270188432255493076711888277196667850489818242142770401679594958498934970158090648484969241441264
8181090715689915308339618607966803294461554933994654221198160435300129046581805307619089730464635751
3534343144871584312337227637701313458822376104040180070230628198072097329945804226590330340910801909
3228523254399332306189500069827546190791738508571062579545609128027204514605300286436148851833869806
7908045830156869884472387391338688168533083839941197544636602814396635831613809911249890144115985277
8391842594674240618140729993087416535392623855933036151250340640940304587094629484092667071968850580
1123780929815402711894404672749070695763776275966053631181249655198641177907377562350608300195065739
7847836138177802424887671264712416749901294329684363322167476532891133899405411453529948999745510084
9090078046346032591073248945406752783118001303599028982891153724264640649510644521887482386980809329
5980762949294652943089756653642219619594858408905883991694334214309168994831381473737131760885576072
5840229149446549168508944490301675345892286761436365573501930064386226102839052071904552721683250176
2627621633328781463797814725470383659230257444047463158068237471546851864343146539049317712977925630
3129945386452435104376965088271044559449335417131160819308370834440587032834479673383564542540533254
6552603020585085582671895422207500073301520968142810685909596715094326554627138864126202689427221320
422

という4003桁の数になりましたので、私の計算結果は合っていると思います。上の誤りサイ
トの計算結果は4000桁となっていますが、ざっと見た感じ、最上位の3桁「127」が抜けてしま
っているようです。なぜそんなことになっているのかちょっと不思議ですが、32771の1個前の
素数32749に対するP(32749)はちょうど4000桁(約2.63×10^3999)ですので、その人の使っ
た計算ツールが10進4000桁の上位切り捨てだったのかも知れませんね。