・余白がない　　　　　　　 　　　 　　　　 　　　　　　ＧＡＩ 氏

　方程式　ｘ^y＝ｙ^ｘ　には、無数の正の有理数解（整数を含む）が存在する。そのすばらしい
証明を思いついたが、それを書く余白がない------------------------------------。

　できたら、３組ほどの解を示し、無数に存在することを示してほしい。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年１２月１３日付け）

　「３組の解」でなく、億千万の点でも叶う。６９組の解が手元にありますが、その内の数組を
開陳致します。

{{823543/279936, 117649/46656}, {46656/15625, 7776/3125},
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 {3125/1024, 625/256}, {256/81, 64/27}, {27/8, 9/ 4}, {4, 2}}

　すなわち、　２⁴＝４²　、（27/8）^9/4＝（9/4）^27/8　、・・・・・


　らすかるさんからのコメントです。（平成２４年１２月１３日付け）

　ｘ^y＝ｙ^ｘ　、　0＜ｘ＜ｙ　を満たす有理数解を求める。

　ｙ=(1+1/t)ｘ とおくと、　ｘ^(1+1/t)ｘ={(1+1/t)ｘ}^ｘ　より、ｘ^ｘ・ｘ^ｘ/t=ｘ^ｘ・(1+1/t)^ｘ

　このとき、　ｘ^ｘ/t=(1+1/t)^ｘ　より、　ｘ^1/t=1+1/t　すなわち、　ｘ=(1+1/t)^ｔ

　ｔ は有理数なので、ｔ=ｎ/ｍ　（ｍ、ｎは互いに素）とおくと、

　　　ｘ={1+1/(n/m)}^n/m={(m+n)/n}^n/m

　m+n と n は互いに素なので、ｘが有理数となるためには、

　　m+n=ｒ^m　、n=ｓ^m　（ｒ、ｓは自然数）

よって、　m=ｒ^m-ｓ^m=(ｒ-ｓ)Σ_k=0〜m-1 {ｒ^k・ｓ^m-1-k}

　ｒ＞ｓ＞0　なので、ｒ＞1

よって、　ｍ＞1 のとき、　(右辺)＞m となり矛盾するので、m=1

　従って、　ｘ=(1+1/n)ⁿ　、ｙ=(1+1/n)ⁿ⁺¹

　具体値は、

(ｘ,ｙ)=(2, 4)、(9/4、27/8)、(64/27, 256/81)、(625/256, 3125/1024)、 …