・分数和における調和美 GAI 氏
(当HP掲示板「出会いの泉」 平成24年12月11日付けより転載)
1/3+1/4=2/5+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)}
1/4+1/5+1/6=3/7+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)}
1/5+1/6+1/7+1/8=4/9+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)}
1/6+1/7+1/8+1/9+1/10=5/11+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)+1/(10^3-10)}
1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12
=6/13+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)+1/(10^3-10)+1/(12^3-12)}
1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14
=7/15+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)+1/(10^3-10)+1/(12^3-12)+1/(14^3-14)}
1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16
=8/17+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)
+1/(10^3-10)+1/(12^3-12)+1/(14^3-14)+1/(16^3-16)}
1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18
=9/19+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)+1/(10^3-10)
+1/(12^3-12)+1/(14^3-14)+1/(16^3-16)+1/(18^3-18)}
・・・・・・・・・・・・・・・
こんな等式が見えてくるラマヌジャンの才能には嘆息が出ます。
(計算ソフトで確認して見て下さい。)
空舟さんからのコメントです。(平成24年12月12日付け)
部分分数分解 1/(x-1)x(x+1)=0.5/(x-1)+(-1)/x+0.5/(x+1) を考慮してみると、例えば、
1/4+1/5+1/6=3/7+{1/(23-2)+1/(43-4)+1/(63-6)}
の場合について、
3/7+{1/(23-2)+1/(43-4)+1/(63-6)}
=3/7+{0.5/1 - 1/2 + 0.5/3}+{0.5/3 - 1/4 + 0.5/5}+{0.5/5 - 1/6 + 0.5/7}
=1+1/3+1/5-1/2-1/4-1/6
=1/4+1/5+1/6
最後の恒等式を文字式で書くと、 Σ1/(2k-1) - Σ1/(2k) = Σ1/(n+k)
[Σの範囲は全部1≦k≦n]
数学的帰納法を使えば簡単に証明できるけど、分数にこんな関係式があったのは初めて
知り驚きです。(ラマヌジャンにはこれぐらい当たり前だったのでしょう)