・分数和における調和美　　　 　　　　 　　　　　　ＧＡＩ 氏

　（当ＨＰ掲示板「出会いの泉」　平成２４年１２月１１日付けより転載）

1/3+1/4=2/5+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)}

1/4+1/5+1/6=3/7+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)}

1/5+1/6+1/7+1/8=4/9+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)}

1/6+1/7+1/8+1/9+1/10=5/11+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)+1/(10^3-10)}

1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12
=6/13+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)+1/(10^3-10)+1/(12^3-12)}

1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14
=7/15+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)+1/(10^3-10)+1/(12^3-12)+1/(14^3-14)}

1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16
=8/17+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+1/(10^3-10)+1/(12^3-12)+1/(14^3-14)+1/(16^3-16)}

1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18
=9/19+{1/(2^3-2)+1/(4^3-4)+1/(6^3-6)+1/(8^3-8)+1/(10^3-10)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+1/(12^3-12)+1/(14^3-14)+1/(16^3-16)+1/(18^3-18)}

・・・・・・・・・・・・・・・

　こんな等式が見えてくるラマヌジャンの才能には嘆息が出ます。
（計算ソフトで確認して見て下さい。）


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年１２月１２日付け）

　部分分数分解　1/(ｘ-1)ｘ(ｘ+1)=0.5/(ｘ-1)+(-1)/ｘ+0.5/(ｘ+1)　を考慮してみると、例えば、

　　　1/4+1/5+1/6=3/7+{1/(2³-2)+1/(4³-4)+1/(6³-6)}

の場合について、

　3/7+{1/(2³-2)+1/(4³-4)+1/(6³-6)}

　=3/7+{0.5/1 - 1/2 + 0.5/3}+{0.5/3 - 1/4 + 0.5/5}+{0.5/5 - 1/6 + 0.5/7}

　=1+1/3+1/5-1/2-1/4-1/6

　=1/4+1/5+1/6

　最後の恒等式を文字式で書くと、　Σ1/(2k-1) - Σ1/(2k) ＝ Σ1/(n+k)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[Σの範囲は全部1≦k≦n]

　数学的帰納法を使えば簡単に証明できるけど、分数にこんな関係式があったのは初めて
知り驚きです。（ラマヌジャンにはこれぐらい当たり前だったのでしょう）