・次元の違いが起こす不思議さ　 　 　　 　 　 　 ＧＡＩ 氏

　数学辞典に、実ｎ次元ユークリッド空間での |ｘ₁|^p+|ｘ₂|^p+|ｘ₃|^p+・・・+|ｘ_n|^p≦1 の体積が

　　２^ｎ・(Γ(1/ｐ))^ｎ/(ｐ^n-1・ｎ・Γ(ｎ/ｐ))

であることを与えるという公式を基に、いくつかのｎとｐで計算してみたのが次の表です。

　さて、ここで、ｐ=2 の場合（単位球）に着目すると、ｎ=5で最大になり、以下減少に転じてい
る。次元の違いが、その体積量に劇的な変化を与えることに空間の奥深さを感じます。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年９月２８日付け）

n＼p：1        ：2        ：3        ：4        ：5        ：6       ：7        ：8        ：9
n=2 ： 2.00000 ： 3.14159
n=3 ： 1.33333 ： 4.18879 ： 5.69658
n=4 ： 0.66666 ： 4.93480 ： 8.54488 ： 10.7995
n=5 ： 0.26666 ： 5.26379 ： 12.0766 ： 17.2792 ： 20.8815
n=6 ： 0.08888 ： 5.16771 ： 16.2255 ： 26.6975 ： 34.8026 ： 40.8018
n=7 ： 0.02539 ： 4.72477 ： 20.8614 ： 40.0013 ： 56.6874 ： 69.9460 ： 80.2257
n=8 ： 0.00634 ： 4.05871 ： 25.7982 ： 58.3148 ： 90.4478 ： 117.976 ： 140.395 ： 158.379
n=9 ： 0.00141 ： 3.29851 ： 30.8100 ： 82.9366 ： 141.635 ： 196.057 ： 242.738 ： 281.563 ： 313.528


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年９月３０日付け）

　Ｗｅｂサイト「小人さんの妄想」で同じ話題を読んだことがあります。なるほど・・・と思いまし
た。


（追記）　平成２４年９月３０日付け

　目から鱗が落ちた感じでした。以前ブルーバックスで「統計でウソをつく法」（ダレル・ハフ
著）という本を読んだ後に感じた感覚が再び訪れたようでした。しかし、見えている人には見
えるんですね〜。このサイトを紹介頂いてありがとうございました。またひとつ世界が広がっ
た感じです。