・次元の違いが起こす不思議さ             GAI 氏

 数学辞典に、実n次元ユークリッド空間での |x1|p+|x2|p+|x3|p+・・・+|xn|p≦1 の体積が

  2・(Γ(1/p))/(pn-1・n・Γ(n/p))

であることを与えるという公式を基に、いくつかのnとpで計算してみたのが次の表です。

 さて、ここで、p=2 の場合(単位球)に着目すると、n=5で最大になり、以下減少に転じてい
る。次元の違いが、その体積量に劇的な変化を与えることに空間の奥深さを感じます。
                                      (平成24年9月28日付け)

n\p:1        :2        :3        :4        :5        :6       :7        :8        :9
n=2 : 2.00000 : 3.14159
n=3 : 1.33333 : 4.18879 : 5.69658
n=4 : 0.66666 : 4.93480 : 8.54488 : 10.7995
n=5 : 0.26666 : 5.26379 : 12.0766 : 17.2792 : 20.8815
n=6 : 0.08888 : 5.16771 : 16.2255 : 26.6975 : 34.8026 : 40.8018
n=7 : 0.02539 : 4.72477 : 20.8614 : 40.0013 : 56.6874 : 69.9460 : 80.2257
n=8 : 0.00634 : 4.05871 : 25.7982 : 58.3148 : 90.4478 : 117.976 : 140.395 : 158.379
n=9 : 0.00141 : 3.29851 : 30.8100 : 82.9366 : 141.635 : 196.057 : 242.738 : 281.563 : 313.528



 空舟さんからのコメントです。(平成24年9月30日付け)

 Webサイト「小人さんの妄想」で同じ話題を読んだことがあります。なるほど・・・と思いまし
た。


(追記) 平成24年9月30日付け

 目から鱗が落ちた感じでした。以前ブルーバックスで「統計でウソをつく法」(ダレル・ハフ
著)という本を読んだ後に感じた感覚が再び訪れたようでした。しかし、見えている人には見
えるんですね〜。このサイトを紹介頂いてありがとうございました。またひとつ世界が広がっ
た感じです。


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