・擬似フェルマーの定理　　 　 　 　　 　 　　　　　　ＧＡＩ 氏

　フェルマー・ワイルスの定理より、（平成２４年７月７日付け）

　　ｘⁿ＋ｙⁿ＝ｚⁿ　に自然数解が存在するのは、ｎ＝１と２の場合だけ

は疑いようは無いにもかかわらず、-1の違いで惜しい部分を探していたら、

　　6³+8³=9³-1

　　71³+138³=144³-1

　　135³+138³=172³-1

　　　・・・・・・・・・・・・

等々、意外にも数多く見つかってくるのが面白かったです。

　他にも、４、５、６、・・・乗と指数を増やして調査してみましたが、１００近くの自然数までで
は探しきっておりません。

　どなたかに性能のよいプログラムにて、冪乗が大きい場合のとっても惜しい（-１の誤差）
例を探し出して頂けませんか？


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年７月８日付け）

　Ｗｅｂサイト「A Collection of Algebraic Identities」が参考になると思います


　空舟さんから紹介して頂いたサイトで、次の記事を発見。（平成２４年７月９日付け）

　Using another initial soln, 6³ + 8³ = 9³ - 1, we get,

　　(6+222pq+4014q²)³ + (8+270pq+4806q²)³ = (9+312pq+5616q²)³ - 1,

  if  p²-321q² = 1

　さっそく、ペル方程式　ｐ²−321ｑ²＝１ を満たす(ｐ，ｑ)=(215，12)を使うと
（他にも山ほど値が取れる。）

　　A=6+222pq+4014q²=1,150,782
　　B=8+270pq+4806q²=1,388,672
　　C=9+312pq+5616q²=1,613,673

に対して、　A³+B³=C³-1(=4,201,908,560,639,252,216)　オー感激！

　こんな値、いくらコンピュータで何日も計算させていても見つかる代物ではありません。ほ
んと世界中を探すと、どこかで誰かがトコトン調べるだけ調べ尽くしている人がいるものだと
感心してしまいます。

　そして、フェルマーの予想の凄さにも驚愕（たまたま当たったのかもしれないが・・・）。


　空舟さん紹介のＷｅｂサイト「A Collection of Algebraic Identities」の記事をいろいろ調べて
いくと、とても驚くべき事実が書かれている。（平成２４年７月１０日付け）

　まず、２通りに表せることになる３つの３乗和で、最小数が

　　　2³+17³+40³=6³+32³+33³(=41³)

で、次に、２通りに表せることになる４つの４乗和で、最小数が

　　　2260⁴+4870⁴+17386⁴+30335⁴=2495⁴+1198⁴+16430⁴+30320⁴(=31127⁴)

　この流れで、２通りに表せることになる５つの５乗和で、最小数

　　　14⁵+95⁵+545⁵+586⁵+644⁵=100⁵+210⁵+414⁵+629⁵+651⁵(=744⁵)

が紹介されている。

　さて、等式の値を与える「744」の数は、随分前に話題なった値Ｒ(Ramanujan Constant)

　　R=e^π√163が整数になると、マーチンガードナーがエープリールフールの日に雑誌で
　紹介された。

　　R=e^π√163=262537412640768743.9999999999992500725...　(ほとんど=640320³+744)

の算出を可能にした楕円モジュラー関数 j(q)=1/q+744+196884q+21493760q²+..... の定数部

744に関係するだろうと記述されていた。（この「744」という数字はなんか気になる数だ・・・）

　私には細部の数学的構造を見る知識や経験も無いが、何かしら奥の方でこれらの等式が
成り立つべくして成り立っている必然性（あるいは見事な対称性）が潜んでいるであろうこと
を想像することには心躍る。

　また、これも調べていて摩訶不思議に感じさせる記述であるものが

　このＲの値が ３次方程式 ｘ³-6ｘ²+4ｘ-2=0 の実数根α(=5.318628217750185659109680153...)
を用いて、α²⁴-24 を計算してみると、なんと　262537412640768743.9999999999992511...
とＲの値とほとんど同じものになる。

　このことは、一体何事が起こっているんだろう？

　更に、５乗和に関連して、

　ａ、ｂ、ｃ、ｄ の自然数が、ａ²+ｂ²=ｃ² かつ 20ａ²ｂ²=ｄ⁵ を満足しておれば
（ａ、ｂ、ｃ、ｄ を500までで探したら次の組が見つかった。）

　(ａ，ｂ，ｃ，ｄ)=(270，360，450，180) は、この条件を満たす。

　ここで、任意な整数ｘを用いて、

　ｘ₁=1+ａｘ⁵　、ｘ₂=1-ａｘ⁵　、ｘ₃=1+ｂｘ⁵　、ｘ₄=1-ｂｘ⁵　、ｘ₅=-1+ｃｘ⁵　、ｘ₆=-1-ｃｘ⁵　、ｘ₇=ｄｘ⁴

と置くと、必ず　ｘ₁⁵+ｘ₂⁵+ｘ₃⁵+ｘ₄⁵+ｘ₅⁵+ｘ₆⁵+ｘ₇⁵=2　が成立するという。

　ｘ の値を自由に選ぶことで、

(271)⁵+(-269)⁵+(361)⁵+(-359)⁵+(449)⁵+(-451)⁵+(180)⁵=2　　(ｘ=1の場合）

(8641)⁵+(-8639)⁵+(11521)⁵+(-11519)⁵+(14399)⁵+(-14401)⁵+(2880)⁵=2　(ｘ=2の場合)

　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

と、これも無限に、７つの５乗和が見つかることになる。

　このように日常の数の世界を一歩踏み越えてみると、想いもよらないバランスが成り立っ
ている姿に出会えることになる。　これらも何かしらの定理の必然的現象として立ち現れて
いることなんだろうな？