・ある合同式　　　　　　 　 　　　 　　 　　　 　　　　 空舟 氏

　ちょっと面白い合同式を発見しました。（平成２４年４月２２日付け）

　ｐ を素数とする。ａ、ｂ、ｑ を整数とし、ｑ を平方非剰余とする。つまり、ｙ²≡ｑ　(mod　ｐ) と

なる整数 ｙ がないとする。このとき、

　　(ａ＋ｂ√ｑ)^ｐ ≡ ａ−ｂ√ｑ  (mod　ｐ)

が成り立つ。


例　ｐ＝３ のとき、整数を ｐ で割った余りは、０、１、２ であるが、その余りを平方したものを

　　ｐ で割った余りは、０、１ の場合しか起こらないので、２ は、ｐ の平方非剰余となる。

　　　そこで、ｑ＝２　とする。このとき、

　　（ａ＋ｂ）³＝ａ³＋３ａ²ｂ＋６ａｂ²＋２ｂ³

　　ここで、　　ａ³≡ａ　(mod　３)　、３ａ²ｂ≡０　(mod　３)

　　　　　　　　６ａｂ²≡０　(mod　３)　、２ｂ³≡−ｂ　(mod　３)

　　なので、　（ａ＋ｂ）³≡ａ−ｂ　(mod　３)　が成り立つ。