・無限級数　　　　　　 　 　　　 　　 　　　 　　　　　　ＧＡＩ 氏

　無限級数

・　1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+・・・=π/4 （ライプニッツの公式）

・　1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+1/9^3-1/11^3+1/13^3-1/15^3+・・・=π^3/32

は見たことがありますが、

・　1-1/3^2+1/5^2-1/7^2+1/9^2-1/11^2+1/13^2-1/15^2+・・・=0.9159655941・・・

や

・　1-1/3^4+1/5^4-1/7^4+1/9^4-1/11^4+1/13^4-1/15^4+・・・=0.9889445517・・・

を表す表記（円周率や√などで表す。）を御存知の方、お知らせ下さい。


　らすかるさんからの情報です。（平成２４年４月２２日付け）

　Ｗｅｂサイト　数学研究　の中の「タットル彗星」によると、「現代数学でも正体がわからな
い」らしいです。


　ＨＮ「☆」さんからの情報です。（平成２４年４月２３日付け）

　1-1/3^2+1/5^2-1/7^2+1/9^2-1/11^2+1/13^2-1/15^2+・・・

はカタラン定数らしいです。（→　参考）

　1-1/3^4+1/5^4-1/7^4+1/9^4-1/11^4+1/13^4-1/15^4+・・・

は、「wolfram　alpha」では、ゼータ関数の和で示されましたね。定数記号での表現は難しい
ようです。


（追記）　平成２４年４月２２日付け

　DirichletのＬ関数を用いて、次の無限級数に挑戦してみました。なお、Dirichlet指標χ(a)
を、ａ≡0、1、2 (mod 3)　に従って、χ(ａ)=0、1、-1 とする。

　1/1^3 -1/2^3 +1/4^3 -1/5^3 +1/7^3 -1/8^3 +1/10^3-1/11^3 +1/13^3-1/14^3+1/16^3

　-1/17^3 +1/19^3-1/20^3+1/22^3-1/23^3 +…

=4π³/243　・・・・　この結果は大丈夫でしょうか？どなたか確認願います。


（追記）　平成２４年４月２７日付け

　1/1+1/3 +1/7 +1/9 -1/11-1/13-1/17-1/19+1/21+1/23+1/27+1/29-1/31
　　　　　　　　　　-1/33-1/37-1/39+1/41+1/43+1/47+1/59-1/61-1/63-1/67-1/69+……
＝π/√5

  1/1+1/5 +1/7 +1/11-1/13-1/17-1/19-1/23+1/25+1/29+1/31+1/35-1/37
　　　　　　　　　　-1/41-1/43-1/47+1/49+1/53+1/55+1/59-1/61-1/65-1/67-1/71+……
＝π/√6

  1/1+1/2 -1/3 +1/4 -1/5 -1/6+1/8
　　　　　　　　　　+1/9-1/10+1/11-1/12-1/13+1/15+1/16-1/17+1/18-1/19-1/20+……
＝π/√7

　・・・・　この結果は大丈夫でしょうか？どなたか確認願います。


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年４月２７日付け）

　sin(jπ/k) を b[j] という記号で書くことにします。このとき、

　　jπ/2k＝b[j]-b[2j]/2+b[3j]/3-b[4j]/4+・・・＝(A)

が成り立ちます。Wikipediaによれば、f(ｘ)=ｘ をフーリエ級数展開すると出てくるそうです。

　log(1+ｚ) のテイラー展開で、ｚ=e^jπi/k とすると、虚部がこの式です。

　j’=k-j とおくと、b[cj]=±b[cj’]　、複号はcの偶奇によるので、(A)式と(A)式でj=j’とおいた
ものを、辺々足すことによって次を得ます。

　　π/2＝2*(b[j]+b[3j]/3+b[5j]/5+・・・)

　今、k=10 とします。この式で、j=1、2、3、4 として

　π/4＝b[1]+b[3]/3+b[5]/5+b[7]/7+b[9]/9+・・・ ＝(B)

　π/4＝b[2]+b[3*2]/3+b[5*2]/5+b[7*2]/7+b[9*2]/9+・・・ ＝(C)

　π/4＝b[3]+b[3*3]/3+b[5*3]/5+b[7*3]/7+b[9*3]/9+・・・ ＝(D)

　π/4＝b[4]+b[3*4]/3+b[5*4]/5+b[7*4]/7+b[9*4]/9+・・・ ＝(E)

それぞれの第1、2、4、5項は、±b[1]、±b[2]、±b[3]、±b[4]のどれかと等しいので、線形
代数的にいろいろやってみると、　((B)+(D)) / (b[1]+b[3])　によって

　π/2(b[1]+b[3]) ＝ 1/1+1/3+1/7+1/9-1/11-1/13-1/17-1/19+1/21+...

が得られます。それで、この左辺がどうも π/√5 になるらしいです。

　ここで、b[1]=sin18°=√5/4-1/4、 b[3]=sin54°=√5/4+1/4

　上記の関数は、ディリクレのＬ関数と呼ばれているそうです。Ｗｅｂサイトに、この話題があ
りました。難しいです...


　土筆の子さんからのコメントです。（平成２４年４月２８日付け）

　ディリクレ指標について、ノートします。

　正の整数 ｍ が与えられたとき、整数 ａ に対して複素数χ(ａ)を対応させる関数χ：Ζ→Ｃ
が次の性質を満たしているとき、χは法 ｍ に関するディリクレ指標であるという。

(i)　ａ≡ｂ (mod ｍ) のとき、χ(ａ)＝χ(ｂ)
(ii)　χ(ａｂ)＝χ(ａ)χ(ｂ)
(iii)　χ(1)＝1
(iv)　(ａ，ｍ)≠1 のとき、χ(ａ)＝０

単位指標：　ρ₁(ｍ)＝１　（(ａ，ｍ)＝１　のとき）　　ρ₁(ｍ)＝０　 （(ａ，ｍ)≠1　のとき）

単位指標は、χ₀ と記されることが多い。ｍ＝１ のときは、恒等指標。

　整数ａに対して、関数ρ₄(ａ)　、ρ₈(ａ) をそれぞれ次の式で定義する。

　ρ₄(ａ)＝ (-1)^(a-1)/2　 （ａ≡1 (mod 2)　のとき）　、ρ₄(ａ)＝ 0　（a≡0 (mod 2)　のとき）

　ρ₈(ａ)＝ (-1)^(a2-1)/8　 （a≡1 (mod 2)　のとき）　、ρ₈(ａ)＝ 0　（a≡0 (mod 2)　のとき）

これは、

　ρ₄(ａ)＝ 1　 （ａ≡1 (mod 4)　のとき）　、ρ₄(ａ)＝ -1　 （ａ≡3 (mod 4)　のとき）　、

　ρ₄(ａ)＝ 0　（a≡0、2 (mod 4)　のとき）

　ρ₈(ａ)＝ 1　 （a≡1、7 (mod 8)　のとき）　、ρ₈(ａ)＝ -1　 （a≡3、5 (mod 8)　のとき）　、

　ρ₈(ａ)＝ 0　（a≡0 (mod 2)　のとき）

と表せる。

例　ｍ＝８を法とするディリクレ指標

　　ａ (mod 8)　　　0 1 2 3 4 5 6 7

　χ₀(=ρ₁(8))　　0 1 0 1 0 1 0 1

　χ₁(=ρ₄(ａ))　　0 1 0 -1 0 1 0 -1

　χ₂ (=ρ₈(ａ))　　0 1 0 -1 0 -1 0 1

　χ₃ (= χ₁χ₂)　0 1 0 1 0 -1 0 -1

（参考文献：　数論入門　山本芳彦著 ｐ１０７−１１４）


（追記）　平成２４年４月２８日付け

　ご確認ありがとうございます。紹介して頂いた佐藤郁郎氏のサイトは、私もいろいろ調べ
物をする中でたびたび訪れたことがある場所でした。この方の知識は驚愕の一言であり、
その分野や深さにおいて他の追随を見ない現代のオイラーと言えそうな人です。

　サイトにまとめられている（とてもわかりやすく解説されています）手段方法がまさしく、無
限級数の値を算出した手がかりだったのです。
（ただし、この部分の記事は見てはいなかった。他にも膨大な内容について記述されてい
るので、まだ全部を読んではいない）

　虚２次体　Ｑ(√-5)　から、Π/√5

　虚２次体　Ｑ(√-6)　から、Π/√6

　虚２次体　Ｑ(√-7)　から、Π/√7

の等式を、類数公式とDirichletのＬ関数を組み合わせて導いています。

　数論の本を何冊か読み出したら、そのおもしろさや深さに改めて驚いています。ただし、い
ろいろな現象が一気に現れてこれを整理しながら理解していくのだが、使われる記号の多さ
に圧倒されて、どれほど理解しているのかも分からない中を進んでいる状態です。数論に精
通されている人がいつも隣にいて、疑問が出たらいつでも答えてくれたらどんなに良いだろう
にと思うことがしばしばです。３〜４冊の本を同時に読み進めていくことが今はベストかなと思
っています。一人、本だけを頼りに仕事の合間に字面を追いながら過去に現象を発見し、そ
の仕組みを解明してきた偉人達の凄さにしびれている毎日です。