・思考の限界を超えて                   GAI 氏

 閉区間 [0,1] を二等分する区間 [0,1/2)、(1/2,1] (ちょうど「1/2」を除く)にそれぞれ含
まれるように、a1、a2の点を選ぶ。

 次に、[0,1] を三等分する区間 [0,1/3)、(1/3,2/3)、(2/3,1] にそれぞれ含まれているよ
うに、a3の点を選ぶ。(a1、a2のa2の点は変えない。)

 以下同様に、四等分する区間 [0,1/4)、(1/4,2/4)、(2/4,3/4)、(3/4,1] にそれぞれ含ま
れるようにa4の点を選ぶ。

 これを限りなく繰り返すとき、はたして、anの点はいつまで選ぶことが可能か?

 一見限りなく可能なように思える(点は無限個あり、数は連続しているのだから・・・)直感
を裏切る結果を知りましたが、どうしてそうなのかを未だ理解していません。

 どなたかこれに挑戦して頂いて、なるほどという理由が知りたいです。


 空舟さんからのコメントです。(平成24年4月14日付け)

 n=17まで構成できました。以下に示した構成です。この構成では、9番目の5/13-3/8 と16
番目の5/16-6/17 が両方とも6/18-7/18の区間に入っているので、n=18で失敗です。

 2/7-5/17、4/7-7/12、6/7-13/15、2/13-1/7、8/11-11/15、6/13-5/11、1/14-1/13、

 13/14-14/15、5/13-3/8、9/14-11/17、3/14-3/13、11/14-4/5、1/2-9/17、0-1/17、

 16/17-1、5/16-6/17、11/17-12/17


(追記) 平成24年4月14日付け

 お見事な配列です。私も5分割位から始めて、一つずつ増やしながら16分割まで成功し、
17分割ではあと一歩という段階が1週間位続く状態でした。やっと見つかったときは、とて
も嬉しかったです。(空舟さんとは異なる分割でした。)

 ここまで進むとあとは根気と努力さえあれば・・・と考えるのが普通ですよね。しかし、この
分割はこれを見事に裏切る結果に終わるのです。

 空舟さんの指摘のように、a9(9分割のときに新たに決める座標)を、3/8-5/13 から選ぶ
とき、a16を 5/16-1/3 から選ぶと、将来18分割したとき、a1と同一区画に入り、また、a16
を、1/3-6/17 から選ぶと、18分割の時、a9と同一区画となる。その結果、4/18-5/18また
は7/18-8/18は空きとなってしまう。

 他の17分割の方法でも同じことが起こるのでしょう。

 このように17分割までは進めるのですが、18分割ではどうにもできず破綻してしまう!な
んとも不思議な感覚です。


                                             投稿一覧に戻る