先日、僕は、『（−１）×（＋１）＝−１』の証明を思いつきました。
１×１＝１×（２−１）＝１×２−１×１＝２−１×１＝１
∴（−１）×（＋１）＝−１
ここで、お尋ねしたいのですが、
「１は乗法の単位元で、１に何を掛けても掛けた数そのものになる」という定義だと思いま
すので、（−１）×（＋１）＝−１は、まさに定義そのものだと思います。ですが、証明できてし
まう。
一体、数学において、「定義」を証明するとはどういうことなのでしょうか？意味があるので
しょうか？
僕の証明に何か間違いがあるのでしょうか？ご教唆頂ければ幸いです。
（平成２４年１月３０日付け）
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月３０日付け）
私は、『 (-1)-1=-1』 の証明を思いつきました。
-1=(-1)1=(-1)2-1=(-1)2・(-1)-1=(-1)-1
∴ (-1)-1=-1
ここで、お尋ねしたいのですが、
「ａ-1は乗法の逆元で、ａとそれを掛けると1になる」という定義だと思いますので、
(-1)-1=-1 は、まさに定義そのものだと思います。ですが、証明できてしまう。
一体、数学において、「定義」を証明するとはどういうことなのでしょうか？意味があるので
しょうか？
私の証明に何か間違いがあるのでしょうか？．．．．．こんなかんじでしょうか？
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年１月３０日付け）
僕は、定義では説明できませんが、冒頭のように、-1×1ではなく、負の数×負の数=正の
数なら、例えば、小学校の高学年で習う速さの関係は、速さ×時間＝移動距離 です。ここ
で方角として、東を正にとります。すると西は負になります。
※東⇔西が互いに対の関係は知っているものとします。
例えば、東方向へ時速−４km/hで歩くということは西方向へ時速４km/hで歩くのと同じ。
また、時間は未来を正にとります。移動量も、東への移動を正とした場合、西への移動は負
になります。
この場合だと、(−４)×(−１)では、東方向へ時速−４km/hで歩く人が、−１時間後にはど
こにいるか、すなわち、西方向へ時速４km/hで歩く人が１時間後にはどこにいるかを意味し
ます。その答は、「今いるところから４km先」となるので、(−４)×(−１)＝４ km/h も意味を
知っているものとして使いました。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２４年１月３１日付け）
釣りかと思ったのですが、まともに答えます。DJ Jerryさんの「証明」では、
１＝２−１、１×２＝２、１×１＝１、分配法則は成り立つとしているようです。これらを使っ
て、（−１）×（＋１）＝−１ を「証明」するのが目的のようです。これだけの仮定のもとで、
（−１）×（＋１）＝−１ が「証明」できてしまったとしても何の不思議もありません。
当然、「証明」できるでしょうとしか言えません。
ところが、上の「証明」で「証明」できてるのは、（−１）×（＋１）＝−１ ではなくて、
−(１×１)＝−１ です。これは、１×１＝１ を認めるなら、ただちに出ることです。
２−１×１ という式は、２−（１×１） としか解釈できません。２項演算子の「−」は、本来の
演算子ではありませんから、本来の演算子である２項演算子「＋」と単項演算子「−」を使っ
て書けば、 ２＋（−（１×１））です。２＋（−１）×１ とは読めません。
(−１)×１＝(１−２)×１＝１×１−２×１＝１−２＝−１ とかすれば「証明」できますが、意
味はありません。
