・(−1)×(+1)=−1の証明        DJ Jerry 氏

 先日、僕は、『(−1)×(+1)=−1』の証明を思いつきました。

   1×1=1×(2−1)=1×2−1×1=2−1×1=1

  ∴(−1)×(+1)=−1

 ここで、お尋ねしたいのですが、

 「1は乗法の単位元で、1に何を掛けても掛けた数そのものになる」という定義だと思いま

すので、(−1)×(+1)=−1は、まさに定義そのものだと思います。ですが、証明できてし

まう。

 一体、数学において、「定義」を証明するとはどういうことなのでしょうか?意味があるので

しょうか?

 僕の証明に何か間違いがあるのでしょうか?ご教唆頂ければ幸いです。
                                      (平成24年1月30日付け)


 空舟さんからのコメントです。(平成24年1月30日付け)

 私は、『 (-1)-1=-1』 の証明を思いつきました。

  -1=(-1)1=(-1)2-1=(-1)2・(-1)-1=(-1)-1

 ∴ (-1)-1=-1

 ここで、お尋ねしたいのですが、

 「a-1は乗法の逆元で、aとそれを掛けると1になる」という定義だと思いますので、

(-1)-1=-1 は、まさに定義そのものだと思います。ですが、証明できてしまう。

 一体、数学において、「定義」を証明するとはどういうことなのでしょうか?意味があるので

しょうか?

 私の証明に何か間違いがあるのでしょうか?.....こんなかんじでしょうか?


 よおすけさんからのコメントです。(平成24年1月30日付け)

 僕は、定義では説明できませんが、冒頭のように、-1×1ではなく、負の数×負の数=正の

数なら、例えば、小学校の高学年で習う速さの関係は、速さ×時間=移動距離 です。ここ

で方角として、東を正にとります。すると西は負になります。

 ※東⇔西が互いに対の関係は知っているものとします。

 例えば、東方向へ時速−4km/hで歩くということは西方向へ時速4km/hで歩くのと同じ。

また、時間は未来を正にとります。移動量も、東への移動を正とした場合、西への移動は負

になります。

 この場合だと、(−4)×(−1)では、東方向へ時速−4km/hで歩く人が、−1時間後にはど

こにいるか、すなわち、西方向へ時速4km/hで歩く人が1時間後にはどこにいるかを意味し

ます。その答は、「今いるところから4km先」となるので、(−4)×(−1)=4 km/h も意味を

知っているものとして使いました。


 FNさんからのコメントです。(平成24年1月31日付け)

 釣りかと思ったのですが、まともに答えます。DJ Jerryさんの「証明」では、

 1=2−1、1×2=2、1×1=1、分配法則は成り立つとしているようです。これらを使っ

て、(−1)×(+1)=−1 を「証明」するのが目的のようです。これだけの仮定のもとで、

(−1)×(+1)=−1 が「証明」できてしまったとしても何の不思議もありません。

 当然、「証明」できるでしょうとしか言えません。

 ところが、上の「証明」で「証明」できてるのは、(−1)×(+1)=−1 ではなくて、

−(1×1)=−1 です。これは、1×1=1 を認めるなら、ただちに出ることです。

 2−1×1 という式は、2−(1×1) としか解釈できません。2項演算子の「−」は、本来の

演算子ではありませんから、本来の演算子である2項演算子「+」と単項演算子「−」を使っ

て書けば、 2+(−(1×1))です。2+(−1)×1 とは読めません。

 (−1)×1=(1−2)×1=1×1−2×1=1−2=−1 とかすれば「証明」できますが、意

味はありません。

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