・５０００００　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　Ｓ（Ｈ） 氏

　ＨＰサイト「私的数学塾」が、平成２４年１月２３日〜２４日未明頃、５０万アクセスを達成し
た。

　「５０００００」に関連して、次の等式が成り立つ。

　　　１００²＋７００²＝５０００００

　　　２９２²＋６４４²＝５０００００

　　　３４０²＋６２０²＝５０００００

　　　５００²＋５００²＝５０００００


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２４年１月２６日付け）

　上記の等式は、方程式

　　　　ｘ²＋ｙ²＝５０００００　(０＜ｘ≦ｙ　ｘ、ｙ は整数)

の解のすべてです。ルジャンドルの２平方和定理によれば、解は４個ですから、これですべて

です。プログラムを書いて調べても、この４個ですべてであるとわかります。

　しかし、できれば初等的な数学と手計算で、すべての解を求めたい所です。

　まず、４個の解を作ることから始めます。

　５０００００＝５⁶・２⁵　を次の形にします。

　５０００００＝２・５００²＝５０・１００²＝１２５０・２０²＝３１２５０・４²

　２、５０、１２５０、３１２５０ を、ｘ²＋ｙ² の形に表せたら、それぞれに、５００²、１００²、２０²、

４² をかけて、ｘ²＋ｙ²＝５０００００ の解が得られます。

　２＝１²＋１²、５０＝１²＋７² については、ただちにわかります。

　２、５０、１２５０、３１２５０ は、公比２５の等比数列です。２５＝３²＋４² と ２＝１²＋１² を

出発点にして、次の式を使います。

　　(ａ²＋ｂ²)(ｃ²＋ｄ²)＝(ａｃ−ｂｄ)²＋(ａｄ＋ｂｃ)²

　２＝１²＋１² と ２５＝３²＋４² に上の式を使って、

　　５０＝２・２５＝（１²＋１²）（３²＋４²）＝（３−４）²＋（４＋３）²＝１²＋７²

（これは既に書いた式だから、本当は書かなくてもいいですが．．．。）

　５０＝１²＋７² と ２５＝４²＋３² に上の式を使って、

　１２５０＝５０・２５＝（１²＋７²）（４²＋３²）＝（４−２１）²＋（３＋２８）²＝１７²＋３１²

　１２５０＝１７²＋３１² と ２５＝３²＋４² に上の式を使って、

３１２５０＝１２５０・２５＝（１７²＋３１²）（３²＋４²）＝（５１−１２４）²＋（６８＋９３）²＝７３²＋１６１²

　２＝１²＋１² の両辺に ５００² をかけて、　５０００００＝５００²＋５００²

５０＝１²＋７² の両辺に １００² をかけて、　５０００００＝１００²＋７００²

１２５０＝１７²＋３１² の両辺に ２０² をかけて、　５０００００＝３４０²＋６２０²

３１２５０＝７３²＋１６１² の両辺に ４² をかけて、　５０００００＝２９２²＋６４４²

　これで、４個の解は得られました。これ以外にないことを示すことが残っていますが、４個
あること、４個しかないことを合わせて問題にしてみました。考えてみてください。

　Nを正の整数として、次の方程式を考える。

　(*)  ｘ²＋ｙ²＝Ｎ　(０＜ｘ≦ｙ　ｘ、ｙ は整数)

　(**)　ｘ²＋ｙ²＝Ｎ　(０＜ｘ≦ｙ　ｘ、ｙ は互いに素な整数)

(1)　Nが４の倍数であれば、(**)は解を持たないことを示せ。

(2)　N＝５^e・２　(ｅ は非負整数)のとき、(**)は解をもつことを示せ。

(3)　N＝５^e・２　(eは非負整数)のとき、(**)の解はただ１つであることを示せ。

(4)　N＝５０００００ のとき、(*)の解をすべて求めよ。

　この問題に必要な場合だけにしたので、N＝５^e・2　(eは非負整数)にしましたが、N＝５^e
(eは正の整数)でも成り立ちます。


　空舟さんが、ＦＮさんの問題(4)について考察されました。（平成２４年１月２７日付け）

　{ａ+ｂ・ｉ | ａ、ｂは整数、ｉ は虚数単位} では、素元分解が同伴( ｉ 倍等)を除いて一意、だと
知られています。(同伴： ａ+ｂ・ｉ に単数(=ノルムが1の数)を掛けた ａ・ｉ-ｂ、-ａ-ｂ・ｉ、ｂ-ａ・ｉ )

　その背景について、充分には理解できていませんが、この事実を前提として考えれば、

・ノルムが5の複素数は、1+2i、1-2i とその同伴のみである。

　[他にもあったら、　5=(1+2i)(1-2i) が一意であることに反する]

　同様に、

・ノルムが2の複素数は、1+i、1-i　すなわち、1+i とその同伴のみである。

　以下同様に考えて、

・ノルムが10の複素数は、(1+i)(1+2i)、(1+i)(1-2i) とその同伴のみである。

・ノルムが25の複素数は、(1+2i)²、(1+2i)(1-2i)、(1-2i)² と同伴のみである。

　　・・・・・・・・・・・・・

　ノルムが500000=2⁵・5⁶ の複素数は、

　　(1+i)⁵、(1+2i)^k(1-2i)^6-k [k=0、1、・・・、6] とその同伴のみである。

　k≧2 と 4≦k では、共役の関係となるから、平方数の和として得られるのは4通りで、

ｋ=0、1、2、3 として、　-644-292・i、620-340・i、-100+700・i、-500-500・i

から得られるものがすべてであるという風に理解できます。


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２４年１月２７日付け）

　　(ａ²＋ｂ²)(ｃ²＋ｄ²)＝(ａｃ−ｂｄ)²＋(ａｄ＋ｂｃ)²

の式は、　(ａ+ｂ・ｉ)(ｃ＋ｄ・ｉ)=(ａｃ-ｂｄ)+(ａｄ+ｂｃ)・ｉ　の両辺の絶対値の２乗をとった式です。

　できるだけ初等的にということで、複素数を表に出さない形で書きましたが、２５＝３²＋４²

と書いたり、２５＝４²＋３² と書いたり、やや不自然な形になりました。

　　(ａ²＋ｂ²)(ｃ²＋ｄ²)＝(ａｃ−ｂｄ)²＋(ａｄ＋ｂｃ)²

は表面的な式という気がします。複素数を表に出して、適宜、絶対値の２乗をとる方がいい

でしょう。具体的な４個の解は、次のようにして得ることができます。

　α=1+i、β=3+4i とおく。それぞれの絶対値の２乗は、2、25 である。α・β^k を考えると、

これの絶対値の２乗は、2・25^k である。

　k=0、1、2、3 のとき、それぞれ 2、50、1250、32150である。

従って、α・β^k を ｘ+ｙ・ｉ と表したときの ｘ、ｙ を必要に応じて符号を変えたり、ｘ、ｙ を交換

したりすれば、

　　ｘ²＋ｙ²=N　(N=2、50、1250、32150、0＜ｘ＜ｙ、ｘ、ｙ は整数)

の解が得られる。(2)はこれで終わり。

　具体的な解を求めるなら、　(1+i)(3+4i) を計算し、それに 3+4i をかけて、さらに、それに

3+4i をかければよい。

　(3)はなんとかなるだろうぐらいに思っていたのですが、意外に難しいかもしれません。ガ

ウス整数において、素因数分解の一意性が成り立つことを使えば出ますが、それを使って

も明らかというほどでもありません。それにそんな高級なことを使っては面白くありません。


（追記）　平成２４年１月２６日付け

　「８０００００」に関連して、次の等式が成り立つ。

　　　１６０²＋８８０²＝８０００００

　　　４００²＋８００²＝８０００００

　　　６０８²＋６５６²＝８０００００


（追記）　平成２４年２月４日付け

　「私的数学塾」のアクセスカウンタもやがて「５０５０００」に関連して、次の等式が成り立つ。

　　　３０²＋７１０²＝５０５０００

　　　１７０²＋６９０²＝５０５０００

　　　２７８²＋６５４²＝５０５０００

　　　４０２²＋５８６²＝５０５０００

　　　４５０²＋５５０²＝５０５０００


（追記）　平成２４年２月２０日付け

　　参考サイト：「Magma Calculator 」の紹介です。

　「Magma Calculator 」に次を挿入してください。

　// writing number as a sum of two squares

　b := 505000;
　for n in [b .. b + 100] do
　    s, x, y := NormEquation(1,n);
　    if s then
　        printf "%o = %o^2 + %o^2\n", n, x, y;
　    end if;
　end for;