・積と和の関係                         S.H氏

 n 個の正数があり、n 個すべての積がちょうど 1 であれば、n 個すべての和は n 以上で
あることは直感的に分かるだろう。

 例えば、 2×(1/2)=1 で、2+1/2≧2 などから...。

 相加平均と相乗平均の関係
                     

を知っていれば証明は容易だが、ここでは数学的帰納法で示すことにしよう。

 1、a2、・・・、a>0 で、 a1・a2・・・・・a=1 ならば、a1+a2+・・・+a≧n

(証明) n=1 のときは明らかに成り立つ。

     n=k(k≧1)のとき、成り立つと仮定する。すなわち、

        a1・a2・・・・・a=1 ならば、a1+a2+・・・+a≧k

      いま、 b1・b2・・・・・bk+1=1 とする。適当に順番を並べ替えて

          b1≦b2≦・・・≦1≦・・・≦bk+1

     としても一般性は失われない。

      このとき、 (b1−1)(1−bk+1)≧0 より、 b1−b1k+1−1+bk+1≧0

     すなわち、 b1+bk+1≧b1k+1+1 が成り立つ。

      よって、 b1+b2+・・・+bk+1≧b2+・・・+bk-1+b1k+1+1

      k個の正数 b2、・・・、bk-1、b1k+1 について、

        b2・・・・・bk-1・(b1k+1)=b1・b2・・・・・bk+1=1 が成り立つので、

      帰納法の仮定により、

       b1+b2+・・・+bk+1≧b2+・・・+bk-1+b1k+1+1≧k+1

     が成り立つ。

      よって、n=k+1 のときも成り立つ。

   したがって、すべての自然数 n に対して、命題は成り立つ。  (証終)



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