ｎ 個の正数があり、ｎ 個すべての積がちょうど １ であれば、ｎ 個すべての和は ｎ 以上で
あることは直感的に分かるだろう。
例えば、 ２×（１/２）＝１ で、２＋１/２≧２ などから．．．。
相加平均と相乗平均の関係
を知っていれば証明は容易だが、ここでは数学的帰納法で示すことにしよう。
ａ1、ａ2、・・・、ａｎ＞０ で、 ａ1・ａ2・・・・・ａｎ＝１ ならば、ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ≧ｎ
（証明） ｎ＝１ のときは明らかに成り立つ。
ｎ＝ｋ（ｋ≧１）のとき、成り立つと仮定する。すなわち、
ａ1・ａ2・・・・・ａｋ＝１ ならば、ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｋ≧ｋ
いま、 ｂ1・ｂ2・・・・・ｂｋ+1＝１ とする。適当に順番を並べ替えて
ｂ1≦ｂ2≦・・・≦１≦・・・≦ｂｋ+1
としても一般性は失われない。
このとき、 （ｂ1−１）（１−ｂｋ+1）≧０ より、 ｂ1−ｂ1ｂｋ+1−１＋ｂｋ+1≧０
すなわち、 ｂ1＋ｂｋ+1≧ｂ1ｂｋ+1＋１ が成り立つ。
よって、 ｂ1＋ｂ2＋・・・＋ｂｋ+1≧ｂ2＋・・・＋ｂｋ-1＋ｂ1ｂｋ+1＋１
ｋ個の正数 ｂ2、・・・、ｂｋ-1、ｂ1ｂｋ+1 について、
ｂ2・・・・・ｂｋ-1・（ｂ1ｂｋ+1）＝ｂ1・ｂ2・・・・・ｂｋ+1＝１ が成り立つので、
帰納法の仮定により、
ｂ1＋ｂ2＋・・・＋ｂｋ+1≧ｂ2＋・・・＋ｂｋ-1＋ｂ1ｂｋ+1＋１≧ｋ＋１
が成り立つ。
よって、ｎ＝ｋ＋１ のときも成り立つ。
したがって、すべての自然数 ｎ に対して、命題は成り立つ。 （証終）
