ＨＮ「ＧＡＩ」さんが、「直感を鍛える」と題して、掲示板「出会いの泉」に投稿された。
（平成２２年１１月２４日付け）
1000匹の魚のうち、99％がブラックバスであるという。これを、98％がブラックバス
になるようにするには何匹のブラックバスを取り除けばいいでしょう？
まずは、直感で予想してみて下さいとのことであるが、真っ先に思いついた私の解答を書
いておきたい。
1000匹の魚のうち、99％がブラックバスであるということは、その比は、 ９９０：１０
1000匹の魚のうち、98％がブラックバスであるということは、その比は、
９８０：２０＝４９０：１０
ブラックバス以外の魚の数は同じだから、ブラックバスの数を、９９０匹から４９０匹に減ら
せばよい。すなわち、５００匹のブラックバスを取り除けばよい。
上記の計算には、比という数学的な計算が入っているので、ＧＡＩさんの言う「直感での予
想」とは言えないかも．．．？
この問いかけに対して、ＨＮ「らすかる」さんは、次のように解かれた。
（平成２２年１１月２４日付け）
ブラックバス以外の魚の数を変えずに1％→2％と倍に増やすには、全体を半分にする必
要があるから、1000÷2＝500匹減らす。
（コメント） なるほど、らすかるさんの解答の方がより「直感的」な．．．雰囲気。
ＧＡＩ さんの刺激的なタイトルに思わず引き込まれました。ＧＡＩ さんに感謝します。
（追記） 平成２８年１２月３１日付け
冒頭の問題の類題が、「数学セミナー ’１２年６月号」（日本評論社）の岩沢宏和さんの連
載「続 確率パズルの迷宮 確率クイズ」で取り上げられている。
スイカ１０００ｋｇをトラックで運んでいる。スイカは、９９％は水分である。目的地に着いたと
き、水分の割合が９８％までに減っていた。最初１０００ｋｇあったスイカは何ｋｇになったか？
直感的に考えて該当する記号を選べ。
（１） ９００ｋｇ （２） ７００ｋｇ （３） ５００ｋｇ （４） ３００ｋｇ
多分、多くの方々は（１）または（２）を選ぶと予想されるが、正解は（３）の５００ｋｇである。
考え方は、らすかるさんの方法と同じで、水分以外の割合が１％から２％と２倍になり、水
分以外は変わらないので、１０００ｋｇが半分になったと考えればよい。よって、５００ｋｇ。
（追記） 平成２９年１月６日付け
次のような問題がある。
問題 無作為に円周上に２点Ｐ、Ｑをとり結ぶ。同様に、さらに円周上の２点Ｒ、Ｓをとり結ぶ。
このとき、２つの弦ＰＱ、ＲＳが円の内側で交わる確率は、いかほどになるか。
これは、ほとんど計算なしで直感的に求められる。
（解） ４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓは円周上の任意の点なので、まず円周上に４点をとり、どの点をＰ、
Ｑ、Ｒ、Ｓにするかは任意に決めるとしてよい。
このとき、点Ｑが点Ｐに対して取り得る位置は、
点Ｐの右隣り（２点ＰとＱの間に他の点はない）
点Ｐの左隣り（２点ＰとＱの間に他の点はない）
点Ｐの真向かい（２点ＰとＱの間に他の点Ｒ、Ｓがある）
の３通りあり、明らかに、点Ｐの真向かいにあるときだけ２つの弦ＰＱ、ＲＳは円の内側で交
わる。
よって、求める確率は、 １/３ である。 （終）
これを計算で示そうとすると中々大変である。
（別解） 点Ｐから反時計回りに円弧ＰＱを描き、その中心角の大きさをθとすると、
０≦θ＜２π である。
求める確率は、点ＲまたはＳの一方のみが円弧ＰＱ上にあり、他方はない場合の確率であ
る。よって、
∫02π （２・（θ/２π）（（２π−θ）/２π）・（１/２π）ｄθ
＝（１/（４π3））∫02π （２πθ−θ2）ｄθ
＝（１/（４π3））[ πθ2−θ3/３]02π
＝（１/（４π3））[ ４π3−８π3/３]
＝１/３ （終）
次の問題も肩すかしを食らったような感覚になることでしょう。
問題 区間[０，１]に含まれる実数を無作為にひとつ選び、それを ｐ とする。区間[０，１]に
含まれる実数を無作為に１０個選ぶ。このとき、実数ｐより小さい実数がちょうど５個選
ばれる確率は、いかほどになるか。
これも、ほとんど計算なしで直感的に求められる。
（解） １１個の実数は無作為に選ばれ、実数ｐがどの値になるかは全く同様に確からしい。
実数ｐより小さい実数がちょうど５個選ばれるということは、ｐがちょうど前から数えて６
番目ということ。よって、求める確率は、１/１１ である。 （終）
（コメント） 実数は合計１１個選ばれるが、ｐはそのうちの一つに過ぎないという発想が新鮮
ですね！
