・ちょっと面白い問題　　　　　　　　　　　　　　　　Ｈ．Ｉ．氏

　（当ＨＰの掲示板「出会いの泉」　平成２２年３月２３日付け）

　某所で見た問題をヒントに、改変した問題です。私はこういう問題が大好きです。

　Ａ君が思い浮かべた一桁の自然数２つを当てるゲームをＢ君、Ｃ君の三人で行いました。
Ａ君は２数の積をＢ君にだけ教え、２数の和をＣ君にだけ教えました。Ａ君はＢ君とＣ君に、
それぞれ聞こえるように質問します。

　　Ａ君：「Ｂ君、答えはわかった？｣
　　Ｂ君：｢まだ分からない｣
　　Ａ君：「Ｃ君、答えはわかった？｣
　　Ｃ君：｢いま分かった！｣

さて、Ａ君が思い浮かべた２つの自然数は何でしょう？

　この問題について、平成２２年３月２３日付けで、ＧＡＩ さんが「２つの数は異なる」という条
件のもとで次のように解かれた。

積が複数構成可能（異なる数にて）なパターンは、積の値が

　６→（１，６）（２，３）　、８→（１，８）（２，４）　、１２→（２，６）（３，４）　、１８→（２，９）（３，６）

２４→（３，８）（４，６）

他の積の値では２数は特定できる。

　そこで、Ｂさんが聞いた積の値は上の５種類のいずれかになる。

Ｂさんが決定できない理由により、Ｃさんはこの１０組での２つの数の和を調査すれば、

　６→（７）（５）　８→（９）（６）　、１２→（８）（７）　、１８→（１１）（９）　、２４→（１１）（１０）

となるので、自分が聞いた和の値からＣが特定できるのは、重複していないものに限ること

から和（５）（６）（８）（１０）のいずれかを聞いたことになる。

　Ｃが聞いた数字に対応して、Ａが思った２数は、次のような数である。

　　　Ｃの聞いた数字　　　　　　Ａが思った２数
　　　　　　　　５・・・・・・・・・・・・・→（２，３）
　　　　　　　　６・・・・・・・・・・・・・→（２，４）
　　　　　　　　８・・・・・・・・・・・・・→（２，６）
　　　　　　　１０・・・・・・・・・・・・・→（４，６）


　「２数が異なる」という条件では、ＧＡＩ さんの解は正解です。ただ、問題では「２数が異な
る」とは仮定していないので、もちろん同じ数の場合も考慮に入れるべきだと思う。

（ＨＰ管理者コメント）　ホントに面白い問題ですね！当初、３人のやり取りから、Ａさんの考
　　　　　　　　　　　　　えた２数が確定するものだと、私自身勘違いしていました。そんな反
　　　　　　　　　　　　　省から、以下に、九九の乗算表を作って、ＧＡＩさんの解法をなぞって
　　　　　　　　　　　　　みた。

　　Ａさんの問いかけに対して、Ｂさんが「分からない」と答えたということは、積から２数が直
　ぐ分かる場合は除かれる。（下表で、背景が赤色のものが除かれる。）

　上表で残された数について、和を調査すれば、

　４→（４）（５）　、６→（５）（７）　、８→（６）（９）　、９→（６）（１０）　、１２→（７）（８）

１６→（８）（１０）　、１８→（９）（１１）　、２４→（１０）（１１）　、３６→（１２）（１３）

　ここで、Ｃさんが分かったということは、Ｃさんの聞いた和の値は、（４）（１２）（１３）の３通り。

したがって、Ｃが聞いた数字に対応して、Ａさんが思った２数は、次のような数である。

　　　Ｃさんの聞いた数字　　　　　　Ａさんが思った２数
　　　　　　　　４・・・・・・・・・・・・・・・・→（２，２）
　　　　　　　１２・・・・・・・・・・・・・・・・→（６，６）
　　　　　　　１３・・・・・・・・・・・・・・・・→（４，９）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（これで合っているのかな？）

　正解です！ただ、

　　　Ａ君：「B君、答えはわかった？｣
　　　B君：｢まだ分からない｣
　　　Ａ君：「C君、答えはわかった？｣
　　　Ｃ君：｢まだ分からない｣
　　　Ａ君：「Ｂ君、答えはわかった？｣
　　　Ｂ君：｢いま分かった！｣

とした方が良問のような気がしてきました。（平成２２年３月２４日付け）

（ＨＰ管理者コメント）　上記の場合を少し考えてみた。

　Ｃ君が分からないということは、Ｃ君の聞いた和の値は次の何れかである。

　　　（５）　（６）　（７）　（８）　（９）　（１０）　（１１）

　この後、Ｂ君が分かったということは、

　　　Ｂ君の聞いた数字は、４で、Ａさんが思った２数は（１，４）となる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（これで合っているのかな？）

　正解です！　それでは、さらに、次のような場合はどうでしょう？

　最長になる質問の場合：

　　１．　Ａ君：「Ｂ君、答えはわかった？｣　　Ｂ君：｢まだ分からない｣
　　２．　Ａ君：「Ｃ君、答えはわかった？｣　　Ｃ君：｢まだ分からない｣
　　３．　Ａ君：「Ｂ君、答えはわかった？｣　　Ｂ君：｢まだ分からない｣
　　４．　Ａ君：「Ｃ君、答えはわかった？｣　　Ｃ君：｢まだ分からない｣
　　５．　Ａ君：「Ｂ君、答えはわかった？｣　　Ｂ君：｢まだ分からない｣
　　６．　Ａ君：「Ｃ君、答えはわかった？｣　　Ｃ君：｢まだ分からない｣
　　７．　Ａ君：「Ｂ君、答えはわかった？｣　　Ｂ君：｢まだ分からない｣
　　８．　Ａ君：「Ｃ君、答えはわかった？｣　　Ｃ君：｢まだ分からない｣
　　９．　Ａ君：「Ｂ君、答えはわかった？｣　　Ｂ君：｢まだ分からない｣
　１０．　Ａ君：「Ｃ君、答えはわかった？｣　　Ｃ君：｢まだ分からない｣
　１１．　Ａ君：「Ｂ君、答えはわかった？｣　　Ｂ君：｢まだ分からない｣
　１２．　Ａ君：「Ｃ君、答えはわかった？｣　　Ｃ君：｢まだ分からない｣
　１３．　Ａ君：「Ｂ君、答えはわかった？｣　　Ｂ君：｢いま分かった！｣

　解答は、以下の通り。（一部文言等を修正させて頂きました。（ＨＰ管理者））

　Ｂ君の教えてもらった数を Ｂ 、Ｃ君の教えてもらった数を Ｃ とする。また、以下において、
分かった場合を ○ 、分からなかった場合を × と表記することにする。

１．Ｂが×なので、Ｂの値は、１×素数 ｐ や素数 ｐ_ｉ ×素数 ｐ_ｊ の形ではない。

　よって、(Ｂ，Ｃ）の組み合わせは、

　　(36，13 or 12)　、(24，11 or 10)　、(18，11 or 9)　、(16，10 or 8)　、(12，8 or 7)

　　(9，10 or 6)　、(8，9 or 6)　、(6，7 or 5)　、(4，5 or 4)

のいずれかとなる。

２．Ｃが×なので、Ｃの値は、　５、６、７、８、９、１０、１１　のいずれかとなる。

３．Ｂが×なので、Ｂの値は、　６、８、９、１２、１６、１８、２４　のいずれかとなる。

４．Ｃが×なので、Ｃの値は、　６、７、８、９、１０、１１　のいずれかとなる。

５．Ｂが×なので、Ｂの値は、　８、９、１２、１６、１８、２４　のいずれかとなる。

６．Ｃが×なので、Ｃの値は、　６、８、９、１０、１１　のいずれかとなる。

７．Ｂが×なので、Ｂの値は、　８、９、１６、１８、２４　のいずれかとなる。

８．Ｃが×なので、Ｃの値は、　６、９、１０、１１　のいずれかとなる。

９．Ｂが×なので、Ｂの値は、　８、９、１８、２４　のいずれかとなる。

１０．Ｃが×なので、Ｃの値は、　６、９、１１　のいずれかとなる。

１１．Ｂが×なので、Ｂの値は、　８、１８　のいずれかとなる。

１２．Ｃが×なので、Ｃの値は、　９　となる。

１３．このとき、Ｂは当然○となり、

　　　　Ｂ＝８　ならば、Ａが思った２数は、（１，８）

　　　　Ｂ＝１８　ならば、Ａが思った２数は、（３，６）

となる。私立中学受験に出そうな問題ですね。
（それにしてもＢ君もＣ君もなかなか切れ者です）

（ＨＰ管理者コメント）　題意が上手く掴めれば、ほとんど機械的な計算で解けてしまうんです
　　　　　　　　　　　　　ね！Ｈ．Ｉ．さんに感謝します。