最近、次の書籍
野崎昭弘 著 離散数学 「数え上げ理論」 （講談社ブルーバックス）
を読んでいて、数え上げの面白さを堪能している。いくつかの例題から出発し、この例題は
このような考え方という具合に話が進められ、順列・組合せの理論を一通り学習された方
にとっては頭の整理に役立つ。ただ、初学者にとっては理解するのに少し時間がかかるか
もしれない。
その中で、次のオイラーの定理が目を引いた。
オイラーの定理
ｎ 個の同じものを、いくつかの同じ袋に分けるとき、
（Ａ） すべてを奇数個ずつに分ける方法の数
（Ｂ） どの２つも異なる数に分ける方法の数
について、 （Ａ）＝（Ｂ） が常に成り立つ。
一見して信じられない結果であるが、正しい結果である。オイラーは無限級数を利用して
証明したらしい。
いくつか具体的な場合について考察してみよう。
例 ｎ＝２ のとき、
（Ａ） １＋１ の １通り （Ｂ） ２ の １通り
で、この場合、 （Ａ）＝（Ｂ） が成り立つ。
例 ｎ＝３ のとき、
（Ａ） ３ と １＋１＋１ の ２通り （Ｂ） ３ と ２＋１ の ２通り
で、この場合、 （Ａ）＝（Ｂ） が成り立つ。
例 ｎ＝４ のとき、
（Ａ） ３＋１ と １＋１＋１＋１ の ２通り （Ｂ） ４ と ３＋１ の ２通り
で、この場合、 （Ａ）＝（Ｂ） が成り立つ。
例 ｎ＝５ のとき、
（Ａ） ５ と ３＋１＋１ と １＋１＋１＋１＋１ の ３通り
（Ｂ） ５ と ４＋１ と ３＋２ の ３通り
で、この場合、 （Ａ）＝（Ｂ） が成り立つ。
例 ｎ＝６ のとき、
（Ａ） ５＋１ と ３＋３ と ３＋１＋１＋１ と １＋１＋１＋１＋１＋１ の ４通り
（Ｂ） ６ と ５＋１ と ４＋２ と ３＋２＋１ の ４通り
で、この場合、 （Ａ）＝（Ｂ） が成り立つ。
上記で、ｎ＝２、３、４、５、６ の場合を調べたが、（Ａ）（Ｂ）それぞれの場合は全く同じ訳
ではない。しかし、その場合の数は必ず一致するという。正に数学の神秘さを感じる瞬間で
ある。
（Ａ）＝（Ｂ） が成り立つということは、（Ａ）と（Ｂ）に一対一の対応がつくということである。
ｎ＝６ の場合について見てみよう。
（Ａ）＝｛ ５＋１ ，３＋３ ，３＋１＋１＋１ ，１＋１＋１＋１＋１＋１ ｝
（Ｂ）＝｛ ６ ，５＋１ ，４＋２ ，３＋２＋１ ｝
（Ａ）の要素 ５＋１ は「どの２つも異なる数に分ける方法」にもなっているので、（Ｂ）に含ま
れる。よって、この場合は、５＋１ に ５＋１ が対応するものと考えるのが自然だろう。
また、奇数個ずつに分けると、同じ個数のものが現れる。
そこで、次の操作（Ｔ）を考える。
操作（Ｔ）： （Ａ）の要素の計算式の中に、２つの同じ数のものがあったら、それら
を加えて、新しい計算式を作る。
操作（Ｔ）の結果、（Ａ）に含まれる要素はすべて（Ｂ）に含まれることになる。
（Ａ）＝｛ ５＋１ ，６ ，３＋２＋１ ，２＋１＋１＋１＋１ ｝
＝｛ ５＋１ ，６ ，３＋２＋１ ，２＋２＋１＋１ ｝
＝｛ ５＋１ ，６ ，３＋２＋１ ，２＋２＋２ ｝
＝｛ ５＋１ ，６ ，３＋２＋１ ，４＋２ ｝ ⊂（Ｂ）
逆に、次の操作（Ｔ’）を考える。
操作（Ｔ’）： （Ｂ）の要素の計算式の中に、偶数があったら、それらを２つの数に
等分割し、新しい計算式を作る。
この操作（Ｔ’）は、ちょうど操作（Ｔ）の逆の操作になっている。操作（Ｔ’）の結果、（Ｂ）に含
まれる要素はすべて（Ａ）に含まれることになる。
（Ｂ）＝｛ ６ ，５＋１ ，４＋２ ，３＋２＋１ ｝
＝｛ ３＋３ ，５＋１ ，２＋２＋１＋１ ，３＋１＋１＋１ ｝
＝｛ ３＋３ ，５＋１ ，１＋１＋１＋１＋１＋１ ，３＋１＋１＋１ ｝ ⊂（Ａ）
以上から、 （Ａ）＝（Ｂ） が成り立つ。
（コメント） 操作（Ｔ）、（Ｔ’）を考えるところが新鮮でした！
また、冒頭の書籍には、このオイラーの定理の拡張にも触れられている。
オイラーの定理の拡張
ｎ 個の同じものを、いくつかの同じ袋に分けるとき、
（Ａ） すべてを ｋ で割り切れない数ずつに分ける方法の数
（Ｂ） 同じ数が高々 ｋ−１ 個であるように分ける方法の数
について、 （Ａ）＝（Ｂ） が常に成り立つ。 ただし、ｋ は２以上の自然数。
ｋ＝２ の場合がオイラーの定理である。
例 ｎ＝６、ｋ＝３ の場合
（Ａ） ５＋１ 、４＋２ 、４＋１＋１ 、２＋２＋２ 、２＋２＋１＋１ 、
２＋１＋１＋１＋１ 、１＋１＋１＋１＋１＋１ の ７通り
（Ｂ） ６ 、５＋１ 、４＋２ 、４＋１＋１ 、３＋３ 、３＋２＋１ 、
２＋２＋１＋１ の ７通り
で、この場合、 （Ａ）＝（Ｂ） が成り立つ。
このオイラーの定理の拡張を示す方法は、オイラーの定理の場合と同様にできる。
２つの互いに逆な操作（Ｔ）、（Ｔ’）を考えればよい。
操作（Ｔ）： （Ａ）の要素の計算式の中に、ｋ 個の同じ数があったら、それらを加え
て、新しい計算式を作る。
操作（Ｔ’）： （Ｂ）の要素の計算式の中に、ｋ の倍数があったら、それらを ｋ 個の
数に等分割し、新しい計算式を作る。
操作（Ｔ）により、
（Ａ）＝｛５＋１，４＋２，４＋１＋１，２＋２＋２，２＋２＋１＋１，
２＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１｝
＝｛５＋１，４＋２，４＋１＋１，６，２＋２＋１＋１，２＋３＋１，３＋３｝
＝｛６，５＋１，４＋２，４＋１＋１，３＋３，３＋２＋１，２＋２＋１＋１｝ ⊂（Ｂ）
操作（Ｔ’）により、
（Ｂ）＝｛２＋２＋２，５＋１，４＋２，４＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１，
１＋１＋１＋２＋１，２＋２＋１＋１｝
＝｛５＋１，４＋２，４＋１＋１，２＋２＋２，２＋２＋１＋１，
２＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１｝ ⊂（Ａ）
以上から、 （Ａ）＝（Ｂ） が成り立つ。
