・加法定理 S.H氏
電車でたまたま隣り合わせた女子高生2人組が何やら数学の問題を考えていた。
z1=cosα+i・sinα 、 z2=cosβ+i・sinβ に対して、
z1+z2 =(5+4i)/7 であるとき、 tan(α+β) の値を求めよ。
女子高生達は次のように考えていた。
cosα+cosβ+i・(sinα+sinβ)=(5+4i)/7 から、
cosα+cosβ=5/7 、 sinα+sinβ=4/7
すなわち、 2cos{(α+β)/2}cos{(α−β)/2}=5/7
2sin{(α+β)/2}cos{(α−β)/2}=4/7
よって、 sin{(α+β)/2}/cos{(α+β)/2}=4/5
2人の会話を聞いていると、次にどうしたらよいか分からないようだ。しかし、ここまで式変
形できれば立派なもので完答まであと一歩である。アドバイスしようと思ったが、宿題とのこ
とだったので控えた。
上式から、 tan{(α+β)/2}=4/5 なので、倍角の公式より、
tan(α+β)=2tan{(α+β)/2}/[1−tan2{(α+β)/2}]
=(8/5)/{1−(16/25)}=(8/5)×(25/9)=40/9
2人の女子高生は、家に帰ってから無事に解けただろうか?