最近の高校教育では、あまり複雑な因数分解は取り扱わないようになってきた。数学嫌い
を増やさないために、それはそれで好ましいことであるが、計算力を鍛えるという意味におい
ては、とても残念なことである。
次の問題は、平成２１年２月２２日付けで、Ｓ（Ｈ）さんが出題されたものである。
Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝ｘ4＋ｙ4＋ｚ4＋２ｘ2ｙ2＋２ｙ2ｚ2＋２ｚ2ｘ2−２ｙ3−２ｚ3
−２ｘ2ｙ−２ｙ2ｚ−２ｙｚ2−２ｚｘ2−ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋Ａｙｚ＝０
が２つの球面を表すように、左辺を因数分解せよ。
Ｓ（Ｈ）さんからは、「未定係数法以外の発想でＡを定めてネ！」と条件付きなのだが、未
定係数法は、複雑な因数分解に対する１つの対処法なので、未定係数法で求めてみるこ
とにした。
Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋ｋｘ＋ｌｙ＋ｍｚ＋ｎ） と因
数分解されたものとして、
Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝ｘ4＋ｙ4＋ｚ4＋２ｘ2ｙ2＋２ｙ2ｚ2＋２ｚ2ｘ2
＋（ｋ＋ａ）ｘ3＋（ｌ＋ｂ）ｙ3＋（ｍ＋ｃ）ｚ3＋（ｌ＋ｂ）ｘ2ｙ＋（ｋ＋ａ）ｘｙ2
＋（ｍ＋ｃ）ｙ2ｚ＋（ｌ＋ｂ）ｙｚ2＋（ｋ＋ａ）ｚ2ｘ＋（ｍ＋ｃ）ｚｘ2＋（ｎ＋ｄ＋ａｋ）ｘ2
＋（ｎ＋ｄ＋ｂｌ）ｙ2＋（ｎ＋ｄ＋ｃｍ）ｚ2＋（ａｌ＋ｂｋ）ｘｙ＋（ｂｍ＋ｃｌ）ｙｚ
＋（ａｍ＋ｃｋ）ｚｘ＋（ａｎ＋ｄｋ）ｘ＋（ｂｎ＋ｄｌ）ｙ＋（ｃｎ＋ｄｍ）ｚ＋ｄｎ＝０
係数比較して、
ｋ＋ａ＝０ 、ｌ＋ｂ＋２＝０ 、ｍ＋ｃ＋２＝０ 、ｎ＋ｄ＋ａｋ＝−１ 、ｎ＋ｄ＋ｂｌ＝１ 、
ｎ＋ｄ＋ｃｍ＝１ 、ａｌ＋ｂｋ＝０ 、ｂｍ＋ｃｌ＝Ａ 、ａｍ＋ｃｋ＝０ 、ａｎ＋ｄｋ＝０ 、
ｂｎ＋ｄｌ＝０ 、ｃｎ＋ｄｍ＝０ 、ｄｎ＝０
ここで、ｎ≠０ とすると、 ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝０
このとき、 ｎ＋ｄ＝１ かつ ｎ＋ｄ＝−１ （矛盾） なので、 ｎ＝０
ｄ≠０ とすると、 ｋ＝ｌ＝ｍ＝０ このとき、 ｄ＝１ かつ ｄ＝−１ （矛盾）
よって、 ｄ＝０ で、このとき、
ｋ＝−ａ 、ｌ＝−ｂ−２ 、ｍ＝−ｃ−２ 、ａｋ＝−１ 、ｂｌ＝１ 、ｃｍ＝１ 、aｌ＋ｂｋ＝０ 、
ｂｍ＋ｃｌ＝Ａ 、ａｍ＋ｃｋ＝０ において、
ｋ＝−ａ、ａｋ＝−１ より、 ａ2＝１ よって、 ａ＝１、−１
ｌ＝−ｂ−２、ｂｌ＝１ より、 ｂ2＋２ｂ＋１＝０ よって、 ｂ＝−１
ｍ＝−ｃ−２、ｃｍ＝１ より、 ｃ2＋２ｃ＋１＝０ よって、 ｃ＝−１
以上から、
（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｋ，ｌ，ｍ，ｎ）＝（１，−１，−１，０，−１，−１，−１，０） のとき、 Ａ＝２
（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｋ，ｌ，ｍ，ｎ）＝（−１，−１，−１，０，１，−１，−１，０） のとき、 Ａ＝２
何れにしても、 Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝ （ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋ｘ−ｙ−ｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｘ−ｙ−ｚ） と因
数分解される。
（コメント） Ｓ（Ｈ）さんの問題では、さらに、
２つの球面の交角（２つの球面の交線上の任意の点に於ける接空間Ｔ1、Ｔ2 の為す
角)を求めよ。
と続く。これについては、今後の楽しみにとっておこう。
上記の因数分解の問題を、ＦＮさんが未定係数法以外の方法で考えられた。
（平成２２年１２月９日付け）
Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝ｘ4＋ｙ4＋ｚ4＋２ｘ2ｙ2＋２ｙ2ｚ2＋２ｚ2ｘ2−２ｙ3−２ｚ3
−２ｘ2ｙ−２ｙ2ｚ−２ｙｚ2−２ｚｘ2−ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋Ａｙｚ＝０
が２つの球面を表すように因数分解されるので、
Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋ｋｘ＋ｌｙ＋ｍｚ）
と書ける。
このとき、Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝０ と、ｘｙ平面（すなわち、ｚ＝０）との交線の方程式は
Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ０ ）＝（ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋ｂｙ）（ｘ2＋ｙ2＋ｋｘ＋ｌｙ）
と因数分解される。ところで、
Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ０ ）＝ｘ4＋ｙ4＋２ｘ2ｙ2−２ｙ3−２ｘ2ｙ−ｘ2＋ｙ2
＝（ｘ2＋ｙ2）2−２ｙ（ｘ2＋ｙ2）−（ｘ＋ｙ）（ｘ−ｙ）
＝（ｘ2＋ｙ2−ｘ−ｙ）（ｘ2＋ｙ2＋ｘ−ｙ）
同様に、Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝０ と、ｚｘ平面（すなわち、ｙ＝０）との交線の方程式は
Ｆ（ ｘ ， ０ ， ｚ ）＝（ｘ2＋ｚ2＋ａｘ＋ｃｚ）（ｘ2＋ｚ2＋ｋｘ＋ｍｚ）
と因数分解される。ところで、
Ｆ（ ｘ ， ０ ， ｚ ）＝ｘ4＋ｚ4＋２ｚ2ｘ2−２ｚ3−２ｚｘ2−ｘ2＋ｚ2
＝（ｘ2＋ｚ2）2−２ｚ（ｘ2＋ｚ2）−（ｘ＋ｚ）（ｘ−ｚ）
＝（ｘ2＋ｚ2−ｘ−ｚ）（ｘ2＋ｚ2＋ｘ−ｚ）
以上から、
Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｘ−ｙ−ｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋ｘ−ｙ−ｚ）
と因数分解されることが分かる。このとき、Ａは ｙｚ の係数なので、Ａ＝１＋１＝２ である。
（コメント） ３変数で因数分解が難しそうに見えたのに、２変数にした途端、容易になった因
数分解、感動しました！ＦＮさんに感謝します。
