私が高校に入学して最初に洗礼を受けた問題が次の問題である。
ｙ＋１/ｚ＝ｚ＋１/ｘ＝１ のとき、 ｘｙｚ＋１ の値を求めよ。
この問題は、入学した高校が取り組んでいた数学添削指導（年間の会費が５００円！）の
第１回目のものである。高校数学に不慣れなのに、「これって、何？」という思いで取り組ん
だような．．．気がする？
高校１年のときの私は、次のように解いたようだ。
ｙ＝１−１/ｚ に、ｚ＝１−１/ｘ＝（ｘ−１）/ｘ を代入して、ｙ＝１−ｘ/（ｘ−１）＝−１/（ｘ−１）
よって、 ｘｙｚ＋１＝ｘ・｛−１/（ｘ−１）｝・（ｘ−１）/ｘ＋１＝０
この解答について、添削のお言葉が「ｘ、ｙ を ｚ で表した方が簡単」というものだった。
（模範解答） １/ｘ＝１−ｚ より、 ｘ＝１/（１−ｚ） 、 ｙ＝１−１/ｚ＝（ｚ−１）/ｚ
よって、 ｘｙｚ＋１＝｛１/（１−ｚ）｝・｛（ｚ−１）/ｚ｝・ｚ＋１＝０
今振り返ると、両者の解にそれほどの違いはないと思うのだが．．．？
上記の計算で、「１/ｘ＝１−ｚ より、 ｘ＝１/（１−ｚ）」という式変形が出来ない高校生が
増えつつあることは危惧すべきことなのでしょう！
この話題に関連して、Ｓ（Ｈ）さんが、「解けても気色悪い」「初体験にも拘わらず感激しな
い」ということで、次の問題をあげられた。（平成２１年４月２６日付け）
正の数 ｘ 、ｙ 、ｚ に対して、
ｘ＋１/ｙ＝４ 、ｙ＋１/ｚ＝１ 、ｚ＋１/ｘ＝７/３ のとき、 ｘｙｚ の値を求めよ。
確かに冒頭の問題は与えられた式をいじくっているうちに何となく「出来ちゃった．．．！」
という感は否めないが、Ｓ（Ｈ）さんの問題は、ちょっとそれとは異質な雰囲気の予感。
（解） １/ｙ＝４−ｘ より、 ｙ＝１/（４−ｘ） 、
１/ｚ＝１−ｙ＝（３−ｘ）/（４−ｘ） より、 ｚ＝（４−ｘ）/（３−ｘ）
よって、 （４−ｘ）/（３−ｘ）＋１/ｘ＝７/３ より、 ４ｘ2−１２ｘ＋９＝０
すなわち、 （２ｘ−３）2＝０ より、 ｘ＝３/２
したがって、 ｙ＝２/５ 、ｚ＝５/３ より、 ｘｙｚ＝（３/２）（２/５）（５/３）＝１ （終）
（コメント） 単なる方程式の問題と思いきや、最後の綺麗な約分を見ると、何か深遠な理
論が潜んでいそうな．．．雰囲気ですね！
Ｓ（Ｈ）さんによれば、次のような問題に拡張できるとのこと。
正の数 ｘ 、ｙ 、ｚ に対して、
ｘ＋１/ｙ＝Ｋ 、ｙ＋１/ｚ＝Ｌ 、ｚ＋１/ｘ＝Ｍ のとき、 ｘｙｚ が整数となるように、定
数 Ｋ、Ｌ、Ｍ の値を定めよ。
上記の計算を活用して、 ｙ＝１/（Ｋ−ｘ） 、
１/ｚ＝Ｌ−ｙ＝（ＫＬ−１−Ｌｘ）/（Ｋ−ｘ） より、 ｚ＝（Ｋ−ｘ）/（ＫＬ−１−Ｌｘ）
よって、 （Ｋ−ｘ）/（ＫＬ−１−Ｌｘ）＋１/ｘ＝Ｍ より、
（ＬＭ−１）ｘ2−（ＫＬＭ−Ｋ＋Ｌ−Ｍ）ｘ＋ＫＬ−１＝０
という２次方程式が出来る。この解の１つを α とすると、
ｘｙｚ＝α・｛１/（Ｋ−α）｝・（Ｋ−α）/（ＫＬ−１−Ｌα）＝α/（ＫＬ−１−Ｌα）
が整数となるように、定数 Ｋ、Ｌ、Ｍ の値を定めればよい。
（追記） 「三角形の形状」と題して、よおすけさんよりご投稿いただいた。
（令和元年８月２１日付け）
異なる３つの数 x、y、z について、次の問いに答えよ。
(1) y+1/z=1、z+1/x=1 のとき、xyz+1 の値はいくらか。
(2) (1)が成り立つ x、y、z を頂点とする三角形はどんな三角形か。
※(1)は、冒頭の問題と同一。
GAIさんからのコメントです。（令和元年８月２１日付け）
x=2、y=-1、z=1/2 は、この条件を満たすが、三角形はできませんが？
（コメント） 異なる３つの数 x、y、z は複素数として考えないと三角形は出来なさそう．．．。
１/ｘ＝１−ｚ より、 ｘ＝１/（１−ｚ） 、 ｙ＝１−１/ｚ＝（ｚ−１）/ｚ
例えば、ｚ＝１−ｉ のとき、 ｘ＝１/ｉ＝−ｉ 、ｙ＝−ｉ/（１−ｉ）＝（１−ｉ）/２
このとき、３点 −ｉ 、（１−ｉ）/２ 、１−ｉ は、直角２等辺三角形となる。
一般にはどう示すのだろう．．．。
以下、工事中
