角の３等分に関わる問題で、次のような問題を最近経験した。
△ＡＢＣの辺ＢＣの中点Ｄ、ＤＣの中点Ｅに対して、線分ＡＤ、ＡＥは∠Ａの３等分線
であるものとする。ＢＣ＝４ のとき、ＡＥの長さを求めよ。
この問題を初めて見たとき、ＡＢ、ＡＣの長さが与えられていないのに、「求まるの？」と
いう疑念が湧いたが、解いていくうちに、それが杞憂であることを悟らされた。
息子にこの問題を見せたら、彼は次のような図を書いてあっさり解いてしまった。
（解） 題意より、 ＢＤ＝２ 、 ＤＥ＝ＥＣ＝１ である。
ＡＤは∠ＢＡＥの２等分線なので、 ＡＢ ： ＡＥ＝ＢＤ ： ＤＥ＝２ ： １ が成り立つ。
よって、 ＡＥ＝ｍ とおくと、 ＡＢ＝２ｍ とおける。
同様に、ＡＥは∠ＤＡＣの２等分線なので、 ＡＤ ： ＡＣ＝ＤＥ ： ＥＣ＝１ ： １ が成り立つ。
よって、 ＡＤ＝ＡＣ より、△ＡＤＣは２等辺三角形となる。
ＥはＤＣの中点なので、 ＡＥ⊥ＤＣ すなわち、 ∠ＡＥＤ＝９０° となる。
このとき、△ＡＢＥは∠ＡＥＤ＝９０°の直角三角形となり、三平方の定理より、
（２ｍ）2＝３2＋ｍ2
よって、 ４ｍ2＝９＋ｍ2 より、 ｍ2＝３ から、 ＡＥ＝ｍ＝
（終）これに対して、当初私が想定した解答は下記のようなものである。
（解） ＡＤは∠ＢＡＥの２等分線なので、 ＡＢ ： ＡＥ＝ＢＤ ： ＤＥ＝２ ： １ が成り立つ。
よって、 ＡＥ＝ｍ とおくと、 ＡＢ＝２ｍ とおける。
同様に、ＡＥは∠ＤＡＣの２等分線なので、 ＡＤ ： ＡＣ＝ＤＥ ： ＥＣ＝１ ： １ が成り立つ。
よって、 ＡＤ＝ＡＣ＝ｎ とおける。
△ＡＢＣにおいて、中線定理より、 （２ｍ）2＋ｎ2＝２（ｎ2＋２2） なので、
４ｍ2−ｎ2＝８
同様に、 △ＡＤＣにおいて、中線定理より、 ｎ2＋ｎ2＝２（ｍ2＋１2） なので、
ｎ2−ｍ2＝１
よって、これらの連立方程式より、 ３ｍ2＝９ から ｍ2＝３
したがって、 ＡＥ＝ｍ＝
（終）（コメント） いろいろな解法が楽しめる問題って、やはり面白いですね！
