平成１９年度入試で、津田塾大学 学芸学部が次のような問題を出題した。
ａ 、 ｂ を整数とし、２次方程式 ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝０ を考える。
（１） この方程式の２つの解が整数のとき、判別式 Ｄ は平方数であることを示せ。
（２） 判別式 Ｄ が平方数ならば、解はすべて整数であることを示せ。
２次方程式の具体的な計算をしている中で、これらの事実は経験的に知られることだろう。
ただ、受験生にとっては、その当たり前のことを示す問題が一番難しいし、また、その経験
も少ない。
（解） （１） ２次方程式の２つの解 α 、 β について、解と係数の関係より、
α＋β＝−ａ 、 αβ＝ｂ
なので、 判別式 Ｄ＝ａ2−４ｂ＝（α＋β）2−４αβ＝（α−β）2 と書ける。
よって、 α 、 β が整数ならば、α−β も整数で、判別式は平方数となる。
（２） 逆に、判別式が平方数とすると、ある正の整数 ｍ が存在して、
Ｄ＝ｍ2
と書ける。このとき、解は、 ｘ＝（−ａ＋ｍ）/２ 、（−ａ−ｍ）/２ となる。
ここで、 （−ａ＋ｍ）＋（−ａ−ｍ）＝−２ａ は偶数であるので、
−ａ＋ｍ と −ａ−ｍ は、ともに偶数か、または、ともに奇数
ところで、 （−ａ＋ｍ）×（−ａ−ｍ）＝ａ2−ｍ2＝４ｂ は偶数なので、
−ａ＋ｍ と −ａ−ｍ は、ともに偶数
となる。このとき、２つの解は、整数となる。 （終）
（補足） このとき更に、
ａ 、 ｂ を整数とし、２次方程式 ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝０ の２つの解が整数のとき、
ａ 、 ｂ の少なくとも一つは偶数である
ことが分かる。
実際に、 解と係数の関係から、２つの解 α、β について、
α＋β＝−ａ 、 αβ＝ｂ
ここで、 ａ、ｂ がともに奇数とすると、 αβ は奇数 すなわち α、β ともに奇数
から、 α＋β＝−ａ において、 左辺は偶数、右辺は奇数 で矛盾である。
よって、 ａ、ｂ の少なくとも一つは偶数となる。
（コメント） 自明だったりして．．．。
一般に、整数係数の２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ において、上記と同様にして、
判別式 Ｄ＝ｂ2−４ａｃ＝ａ2（（ｂ/ａ）2−４（ｃ/ａ））＝ａ2（（α＋β）2−４αβ）＝ａ2（α−β）2
なので、方程式が整数解を持てば、判別式は平方数となる。
逆に、判別式が平方数、すなわち、Ｄ＝ｍ2 と書けるとき、解は、
ｘ＝（−ｂ＋ｍ）/２ａ 、（−ｂ−ｍ）/２ａ
となる。ここで、 （−ｂ＋ｍ）＋（−ｂ−ｍ）＝−２ｂ は偶数であるので、
−ｂ＋ｍ と −ｂ−ｍ は、ともに偶数か、または、ともに奇数
ところで、 （−ｂ＋ｍ）×（−ｂ−ｍ）＝ｂ2−ｍ2＝４ａｃ は偶数なので、
−ｂ＋ｍ と −ｂ−ｍ は、ともに偶数
となる。このとき、２つの解の分子は、ともに２で約分できる。
（コメント） 道理で、解の公式の根号の中身が平方数になるときに、２で割り切れると思っ
た．．．！
