・　２次関数の最大最小　 　 　　　　 　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　平成２０年度の大学入試センター試験が、１月１９日（土）〜２０日（日）に行われる。数学
�Tの試験は、第２日である。

　２次関数では、次のような問題が頻出である。

問題　　ａ を定数とし、２次関数 ｙ＝２ｘ²−４ａｘ＋３　を考える。　ｘ が、−１≦ｘ≦１

　　　　の範囲にあるとき、この２次関数の最大値 Ｍ（ａ）、最小値 ｍ（ａ） をそれぞれ

　　　　求めよ。

　この問題は、軸の位置で場合分けすることがポイントである。

（解）　Ｆ（ｘ）＝２ｘ²−４ａｘ＋３＝２（ｘ−ａ）²＋３−２ａ²　より、軸の式は、　ｘ＝ａ

　まず、最大値を求める。

　　　　　　　　　

　上図から、　ａ＜０　のとき、　　Ｍ（ａ）＝Ｆ（１）＝５−４ａ

　　　　　　　　ａ≧０　のとき、　　Ｍ（ａ）＝Ｆ（−１）＝５＋４ａ

　次に、最小値を求める。

　　　　

　上図から、　ａ＜−１　のとき、　　ｍ（ａ）＝Ｆ（−１）＝５＋４ａ

　　　　　　　　−１≦ａ≦１　のとき、　　ｍ（ａ）＝Ｆ（ａ）＝３−２ａ²

　　　　　　　　ａ＞１　のとき、　　ｍ（ａ）＝Ｆ（１）＝５−４ａ　　（終）

　上記の問題では文字が関数式に入っているが、定義域の方に入る場合もある。

問題　　ａ を定数とし、２次関数 ｙ＝２ｘ²−４ｘ＋３　を考える。　ｘ が、ａ≦ｘ≦ａ＋１

　　　　の範囲にあるとき、この２次関数の最大値 Ｍ（ａ）、最小値 ｍ（ａ） をそれぞれ

　　　　求めよ。

　この問題に対しては、通常次のように解かれることが多いだろう。

（解）　　Ｆ（ｘ）＝２ｘ²−４ｘ＋３＝２（ｘ−１）²＋１　より、軸の式は、　ｘ＝１

　　　区間 ａ≦ｘ≦ａ＋１ の幅は、１である。

　まず、最大値を求める。　Ｆ（ａ）＝Ｆ（ａ＋１）　となるのは明らかに、ａ＝１/２　のときである。

　　　　　　　　　　　　

　上図から、　ａ＜１/２　のとき、　　Ｍ（ａ）＝Ｆ（ａ）＝２（ａ−１）²＋１

　　　　　　　　ａ≧１/２　のとき、　　Ｍ（ａ）＝Ｆ（ａ＋１）＝２ａ²＋１

　次に、最小値を求める。

　　　　　　

　上図から、　ａ＜０　のとき、　　ｍ（ａ）＝Ｆ（ａ＋１）＝２ａ²＋１

　　　　　　　　０≦ａ≦１　のとき、　　ｍ（ａ）＝Ｆ（１）＝１

　　　　　　　　ａ＞１　のとき、　　ｍ（ａ）＝Ｆ（ａ）＝２（ａ−１）²＋１　　（終）

　この２つの問題の解法を比較するとき、前者の方が考えやすいだろう。しかし、次のように
考えれば、後者の問題も前者と同様に考えることが出来る。２つの問題は同じパターンの問
題であるということが伺える。

　後者の問題を前者の解法パターンで解くコツは、定数「ａ」を固定することである。

（別解）　Ｆ（ｘ）＝２ｘ²−４ｘ＋３＝２（ｘ−１）²＋１　より、軸の式は、　ｘ＝１

　　　区間 ａ≦ｘ≦ａ＋１ の幅は、１である。よって、区間の中央値は、ａ＋１/２

　まず、最大値を求める。

　　　　　　　　　　　　
　上図から、

　　　ａ＋１/２＜１　すなわち、　ａ＜１/２　のとき、　　Ｍ（ａ）＝Ｆ（ａ）＝２（ａ−１）²＋１

　　　ａ＋１/２≧１　すなわち、　ａ≧１/２　のとき、　　Ｍ（ａ）＝Ｆ（ａ＋１）＝２ａ²＋１

　次に、最小値を求める。

　　　　　　

　上図から、　ａ＋１＜１　すなわち、　ａ＜０　のとき、　　ｍ（ａ）＝Ｆ（ａ＋１）＝２ａ²＋１

　　　　　　　　ａ≦１≦ａ＋１　すなわち、　０≦ａ≦１　のとき、　　ｍ（ａ）＝Ｆ（１）＝１

　　　　　　　　ａ＞１　のとき、　　ｍ（ａ）＝Ｆ（ａ）＝２（ａ−１）²＋１　　（終）


（コメント）　今まで、２様に解いてきた問題が実は同じ解法で解けるとは驚きです！このよ
　　　　　　うな認識が、問題を考える上でとても大切ですよ！ということを河合塾の先生よ
　　　　　　り教わりました。まさに、「予備校、恐るべし！」ですね．．．。