平成１９年９月３０日（日） ＮＨＫ ＢＳｈｉ のハイビジョン特集で、
数学者はキノコ狩りの夢を見る 〜ポアンカレ予想・１００年の格闘〜
が放送された。放送された時間が午後７時〜８時５０分と微妙な時間で、大河ドラマ「風林
火山」が控えていることもあり、ビデオに録画しておいたものを、最近ようやく見ることが出
来た。
ＮＨＫで数学に関連した特集が放送されるのは、３５０年以上も未解決だったフェルマー
予想を証明したワイルス以来だろうか。
「宇宙はどんな形をしているのか？」という素朴な問いかけに関係する「ポアンカレ予想」
について、番組では、ポアンカレや、その当時の世相、ポアンカレ予想を取り巻く数学の進
展、そして解決まで多くの数学者が取り組んだ道筋やポアンカレ予想を解決した孤高のロ
シア人数学者 グリゴリ ペレリマン（Ｇｒｉｇｏｒｙ Ｐｅｒｅｌｍａｎ（
） 1966〜）（愛称は、グリーシャ）のことが語られ、とても分かりやすい内容だった。
再放送が、１０月１０日（水）１４時〜１５時５０分にあるようなので、見逃した方は是非ご覧
下さい。楽しいひとときが持てると思う。
ポアンカレ予想とは、数学の言葉を借りれば、
単連結な３次元閉多様体は３次元球面に同相である
ということである。アメリカのマサチューセッツ州ケンブリッジにあるクレイ研究所は、この問
題に１００万ドルの賞金を掛けているが、その研究所のガラス窓には、簡潔に
と記されている。
ハーケン博士によれば、ポアンカレ予想とは「一度入り込んだら抜け出せない底なし沼の
ような存在」だという。
「単連結」ということを、番組では紐を使って説明していた。出発点からスタートして紐でそ
の経路を明示し、出発点に帰ってくるという道筋で、出発点で、その紐をたぐり寄せて全部
が回収できれば、単連結という訳だ。
したがって、ポアンカレ予想とは「回収できたら、それは球面だ！」ということを主張する。
この考え方を一般化して、１９６０年代以降、位相幾何学（トポロジー）が進展した。分子
生物学やデザイン関係、金融までその考え方は応用され、「トポロジーこそが数学！」とい
う時代が続いた。
日本の学校教育でも「数学の現代化」と称して、集合論やトポロジーが教えられる時代が
あったが、当然のごとく学校教育には馴染まない魔力があった。最近は、あまりそれらの
数学は、全く教えられないか、傍流に位置づけられている。
しかし、トポロジーによる挑戦は、結局のところ、ポアンカレ予想の解決には結びつかな
かった。予想の解決には、古典的と思われた微分幾何学が活躍した点が興味深い。証明
に成功したペレリマンは微分幾何学の専門家で、かつ物理学にも造形が深かった点が見
逃せないようだ。
証明には、エネルギーやらエントロピーなどの物理学の専門用語や微分幾何学における
リッチ・フロー方程式が用いられ、ポアンカレ予想の解決に奔走した位相幾何学者たちを次
のように嘆かせたという。
ポアンカレ予想の証明が終わってしまったということに落胆し、
位相幾何学の手法が使われなかったということに落胆し、
ペレリマンの証明が理解できなかったということに落胆した。
証明の進め方に驚き、専門家がついて行けなかったという話を聞いて、「数学者にも直ぐ
に理解できないことがあるのだ！」と、多分世の中の数学を学ぶ学生達は少し安堵するの
ではないだろうか？
ポアンカレ予想の解決には、コーネル大学のサーストン教授が１９８２年に提唱した
幾何化予想 ３次元多様体は、一様な幾何構造の断片に分解できる
が本質的に貢献したようだ。
もう少しだけ詳しく述べれば、
どんな３次元多様体も、分割された部分は、８種類の幾何構造の何れかとなる
その８種類とは、次のような図形をいうらしい。（一部省略）
