a(n)+1≡0 (mod n) <==> nは素数である
を予想するものを知りました。確かに、n=2～1000までの様子を見てみると
gp > a(n)=sum(k=1,n,gcd(k,n))
gp > for(n=2,1000,if(Mod(a(n)+1,n)==0,print1(n",")))
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,
467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571,
577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,
661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761,
769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863,
877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977,
983, 991, 997,
primes(primepi(1000))
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,
467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571,
577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,
661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761,
769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863,
877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977,
983, 991, 997]
でピタリあてはまります。
ところが、N=3*37*43*42307*116341(=23492890653051) となった部分で、
a(N)=610815156979325で
a(N)+1= 610815156979326 = 26*23492890653051 =26*N
つまり、a(N)+1≡0 (mod N) にもかかわらず Nが合成数となり、予想はここで破綻してしまう。
（こんな大きな値で初めて破綻してしまうとは････)
さて、こんな破綻を与えてしまう他のnはあるのか？
らすかるさんからのコメントです。（令和８年８月２９日付け）
「5個の相異なる素数の積」という条件で検索すると、提示されたNはあっという間に見つか
るのですが、この条件では他にはなさそうでした。
（この条件を満たすものは他にあっても有限個だと思います）
「4個」以下ではおそらく存在せず、「6個」「7個」をしばらく検索してみたのですが、見つかり
ませんでした。
（7個以上は「すべて検索」は時間的に無理）
p^3×q^2×r×s×tなど、指数が2以上のものも含めれば見つかるのかも知れませんが、
組合せが多すぎるのとそれぞれの計算式を作るのも大変そうなので、諦めます。
＃p^2で割り切れるとき、gcdの合計がpで割り切れるようなので、条件は満たさないですね。
よって「相異なる素数の積」の素数の個数を多くして探すしかない、ということになると思いま
す。
らすかるさんからのコメントです。（令和８年８月３０日付け）
相異なる素数の積しかない、とわかったところで、もう少しプログラムを改良して変数値範
囲も広げ、6素数の積について探してみたら、一つ見つかりました。
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293 = 8193613126657808805087106 のとき、
a(N) = (2*2-1)(2*13-1)(2*151-1)(2*34649-1)(2*64783-1)(2*929765438293-1)
= 376906203826259205034006875
で、
a(N)+1 = 376906203826259205034006876 = 46*8193613126657808805087106
なので、
a(N)+1≡0 (mod N) かつ Nが合成数
となります。
# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわか
りました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年８月３１日付け）
らすかるさん凄い！「A018804」に是非登録してください。
もし存在するならどういう条件かを確定させて探られていることに感心します。たとえ相異な
る素数の積という条件でも、6個の素数の組合せなんてとんでもない数になると思うし、果たし
てどこまでの素数を使用するかによってその数は全く異なってきます。
結果を見る限り、素数の大きさが12桁まで広がっているので、この素数になるまで
gp > primepi(929765438293)
%417 = 35062717755(個)
の素数がありますから
gp > binomial(35062717755,6)
%418 = 2580720418848458496825306224464616005861484887789012966085250(通り)
なる天文学的組合せになります。
こんな可能性から、例の N = 2*13*151*34649*64783*929765438293 を探し出すなんて
麦わらの山から一本の黄金の針を探し出す行為に例えられます。どれほどの探索時間を要
したのですか？
なお、メモに
# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわか
りました。
がありましたが、私もいろいろこの数字で検索かけましたが、全く関係しないものしか現れな
くて、これを拾い出すのはどんな手法なのかが知りたいです。
例のAIに尋ねても分かりませんでした。
らすかるさんからのコメントです。（令和８年８月３１日付け）
探索時間は、1秒ぐらいです。たまたま「先頭の方」にあって、かつ小さい5個の素数が32
ビット以内だったため運よく見つかっただけです。
「先頭の方」になければ延々と見つからなかったと思います。
現に、条件を絞って「6素因数の2個目」を探していますが、終わりが見えません。
探索方法は、「小さい順に決めていく」方法です。
a＜b＜c＜d＜e＜fとして、まずaは2,3,5,…ですが、たまたまa=2の解がありました。
bは単純に考えると3,5,7,11,13,…ですが、
(2a-1)(2b-1)(2c-1)(2d-1)(2e-1)(2f-1)+1 が abcdef で割り切れなければならないため、
b=3は不適です。
（2a-1=3なので分子は3で割り切れず、分母に3があってはならないためです）
よって、bは5から開始することになります。
この処理は他の変数を決めるときにも行います。例えばb=7のとき2b-1=13なのでcやdを
13にすることはできません。
あと、いくつかの変数を決めた段階でそのときの(Σgcd+1)/Nの最小値・最大値が決まりま
すが、その範囲に整数が存在しないことが多々あります。
（例えば最小値26.2、最大値26.9など）
そのときに探索をやめて変数の値を次の値にすると、かなり速くなります。
そして未定の変数が残り二つになったとき（つまりa,b,c,dを決めたとき）に、残りの二つは
(Ae+B)(Af+B)=kC という方程式を立て、kを(Σgcd+1)/Nの最小値～最大値の範囲、
eをd＜e＜(√(kC)-B)/Aの範囲で変化させてfが素数になるものを探しています。
8193613126657808805087106 については、こちらの環境でググると、サイトが見つかります。
こちらでは1年前に同じ値が発見されていますので、私がA018804に登録するのはちょっと…
以下、工事中！
