「A003504」では
a(0)=a(1)=1; thereafter a(n+1) = (1/n)*Sum_{k=0..n} a(k)^2 (a(n) is not always integral!).
1,1,2,3,5,10,28,154,･･･ が並んでいき、a(43)まで整数で、a(44)で有理数
より一般化(2乗をk乗にしてk-Gobel sequence)したもの
「A108394」では
Least k for which f(k) = (1 + f(0)^n + f(1)^n + ... + f(k-1)^n)/k, f(0) = 1
n=2-->1,2,3,5,10,28,154,･･･ が並び、f(42)までが整数で、f(43)で有理数
n=3-->1,2,5,45,22815,2375152056927,･･･ が並び、f(88)までが整数で、f(89)で有理数
n=4-->1,2,9,2193,5782218987645,･･･ が並び、f(96)までが整数で、f(97)で有理数
n=5-->1,2,17,473297,5937570334133678310135701537,･･･ が並び、f(213)までが整数で、
f(214)で有理数
これらは共通してf(1)=2となるタイプとして並ぶことになるので、さらに
ここをf(1)>=2 (即ちf(1)=3,4,5,6,･･･と変化させたことも含め)
「A097398」では
Matrix T(m,x(1)), m>=1, x(1)>=2, read by antidiagonals,
where T(m,x(1)) gives the position of the first noninteger term in the sequence
defined by x(n)=(x(n-1)*(x(n-1)^m+n-1))/n for n>=2
with exponent m and the given starting value x(1)
として
m\x1:--,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11
1;--,43 ,7 ,17 ,34 ,17 ,17 ,51 ,17 ,7 ,34
2;--,89 ,89 ,89 ,89 ,31 ,151 ,79 ,89 ,79 ,601
3;--,97 ,17 ,23 ,97 ,149 ,13 ,13 ,83 ,23 ,13
4;--,214 ,43 ,139 ,107 ,269 ,107 ,214 ,139 ,251 ,107
5;--,19 ,83 ,13 ,19 ,13 ,37 ,13 ,37 ,347 ,19
6;--,239 ,191 ,359 ,419 ,127 ,127 ,239 ,191 ,239 ,461
7;--,37 ,7 ,23 ,37 ,23 ,37 ,17 ,23 ,7 ,37
8;--,79 ,127 ,158 ,79 ,103 ,103 ,163 ,103 ,163 ,79
9;--,83 ,31 ,41 ,83 ,71 ,83 ,71 ,23 ,41 ,31
10;--,239 ,389 ,169 ,137 ,239 ,239 ,239 ,239 ,239 ,389
の表が作られている。確認のため
gp > gobel_kl(k, l, N) =
{
my(v = vector(N));
v[1] = l;
for(n = 1, N-1,
v[n+1] = v[n] * (n + v[n]^(k-1)) / (n+1);
);
return(v);
}
とプログラムを組み、上記表で最も少ない数で(m,x1)=(1,3),(1,10)での7を確認してみると
gp > gobel_kl(2, 3, 7)
%21 = [3, 6, 16, 76, 1216, 247456, 61235956672/7]
gp > gobel_kl(2, 10, 7)
%22 = [10, 55, 1045, 273790, 14992411852, 37462068869158688194, 1403406603957588515490448060329867110800/7]
となり確かに第7項目が初めて有理数となってしまう。
これ位の大きさなら十分通常のコンピュータの計算で確認は取れるが、上記の
n=5-->1,2,17,473297,5937570334133678310135701537,･･･ が並び、f(213)までが整数で、
f(214)で有理数
などの様子など望むべくもありません。
一体どの様にして調べたのか教えてほしい。
らすかるさんからのコメントです。（令和８年８月２７日付け）
f(213)を214で割った余りがわかればよい
→f(212)を213*214で割った余りがわかればよい
→f(211)を212*213*214で割った余りがわかればよい
→・・・
ということですので、例えば
gobel_kl(k,l,N)=
{
x=l;
for(n=1,N-1,
x=x%(N!/(n-1)!);
x=x*(n+x^(k-1))/(n+1);
);
return(x);
}
for(i=3,300,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))
のようにすると、f(214)が非整数であることがわかりますね。
# 理由がよくわからないのですが、非整数が出てくると、次のx=x%(N!/(n-1)!)でエラーになり
ますので、最初の非整数まで表示してエラー終了します。
（非整数が出現したら終了というロジックを省略できて便利ではあります）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年８月２７日付け）
このプログラムで、どこで有理数となる場所が判明できるのですね。そこでこのプログラム
を使って、「A288641」に並んでいる整数を算出していたら
forprime(i=3,900,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))で
･･･････････････
193 132351082600315838701
197 3340985130460343217
199 841924060846945
211 11068272793562666699
*** at top-level: ...rime(i=3,900,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))
*** ^-----------------
*** in function gobel_kl: x=l;for(n=1,N-1,x=x%(N!/(n-1)!);x=x*(n+x^(k-1)
*** ^---------------------------
*** _%_: impossible inverse in Fl_inv: Mod(0, 107).
の返しが起こり、「A288641」でのn=5での値251にひっからないのです。
n＝2~20まではn=5以外ではちゃんと正解の値を与えてくれます。
この部分の謎は何なのでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和８年８月２７日付け）
原因の予想はつきますが、対策はどうすればよいかわかりません。
n=5のとき最初に非整数になるのが214であり、214が素数でないからという理由だと思いま
すが、非整数になってしまうとmod演算ができなくなって今の方式では不都合です。
n=2〜20はn=5を除きすべてたまたま素数項で非整数になりますが、少し先を計算すると
n=22のときも素数でない94で非整数になってしまい、179が得られません。
非整数を5乗とか22乗とかするとあっという間に分子分母が巨大になってしまうのでうまくな
いですね。さて、どうしましょう？
＃ 上のプログラムで求まる43, 89, 97, 214, 19,・・・という数列は「A108394」ですね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年８月２８日付け）
これを使うと、てっきり「A288641」も見つかると思ってやっていました。
以下、工事中！
