・数の性質 ＧＡＩ 氏
人はものを自分との関係性につなげて好き嫌いを決めたり、名前を付けたりして世界を
理解したり、繋がったりする性癖があるのか動物はただ生きているにも関わらず、犬は飼
い主に忠実だとか猫は気ままでツンデレでたまらなくそこが好きとか言って自分の子供より
遥かに多くの愛情を注ぐ現象をよく目にする。
これは生き物だけではなく、単なる記号（数字を含む）のような実体のないものに対しても
人は相手を擬人化し、何か個性を持つかのように取り扱う。
ここに、Lucky numbers(幸運数)と名付けられた数たちがある。
何故、幸運かというと、この数は次の様な手続きで発生してくる。
1;自然数を並べて置く
1,2,3,4,5,6,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,･･･
(1は幸運数に確定しておく)
2;この列から2n番目の数（偶数)を取り除いていく
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51,53,55,57,59,61･･･
(3が残ってしまうので3は幸運数に確定)
3;さらに、この列から1の隣が3だから、3n番目の数(5,11,17,23,29,35,41,47,53,59,･･･）を取り除
いていくと、
1,3,7,9,13,15,19,21,25,27,31,33,37,39,43,45,49,51,55,57,61,･･･
(7が残ってしまうので7は幸運数に確定)
4;3の隣が7なので上の列から7n番目の数(19,39,61,･･)を取り除いていくと、
1,3,7,9,13,15,21,25,27.31.33.37.43.45.49.51,55,57,63,･･･
(9が残ってしまうので9は幸運数に確定)
5;7の隣が9だから上の列から9n番目の数(27,57,･･)を取り除いていくと、
1,3,7,9,13,15,21,25,31.33.37.43.45.49.51,55,63,･･･
(13が残ってしまうので13は幸運数に確定)
6;9の隣が13だから上の列から13n番目の数(45,･･)を取り除いていくと、
1,3,7,9,13,15,21,25,31.33.37.43.49.51,55,63,･･･
(15が残ってしまうので15は幸運数に確定)
･･････････
以下同様
何かエラトステネスの篩を思い出すよう様な操作を繰り返して行くとき、この列に最後まで残
り続けられる数列が「Lucky numbers」と呼ばれる。
(取り除かれず残っていくことに由来するのか。)
さて、1〜100までに幸運数になり得る数は何か？また、1〜1000までで、素数の中でこの幸
運数でもあるのはどんな素数か？
（コメント） 1〜100までに幸運数になり得る数は、
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75,
79, 87, 93, 99
らしいです。
らすかるさんからのコメントです。（令和８年８月１日付け）
数列サイトの番号で、 A000959 と A031157
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年７月３０日付け）
上記のLucky numbersと異なるが似たようなニュアンスでHappy numbers(幸福数)なる名で
呼ばれる数があり、nの数字を構成する各digitsを平方してすべて加えた数へ変更し、この手
順を繰り返し続けていく。
<例>n=123==>1^2+2^2+3^2=1+4+9=14 さらに続けて14==>1^2+4^2=17 、17==>1^2+7^2=50
5^2+0^2=25 、25==>2^2+5^2=29 、以下
85,69,145,42,20,4,16,37,58,89,145,42,20,4,･･･････
以下(4,16,37,58,89,145,42,20,4のサイクルが繰り返される)、つまり、いくら続けても終わらず
同じサイクルを回り続けてしまう。
nからの変化の様子をF(n)で少し観察すると、
gp > F(2)
1;4
2;16
3;37
4;58
5;89
6;145
7;42
8;20
9;4 |
gp > F(3)
1;9
2;81
3;65
4;61
5;37
6;58
7;89
8;145
9;42
10;20
11;4
12;16
13;37
14;58
15;89
16;145
17;42
18;20
19;4 |
gp > F(4)
1;16
2;37
3;58
4;89
5;145
6;42
7;20
8;4
9;16
10;37
11;58
12;89
13;145
14;42
15;20
16;4 |
gp > F(5)
1;25
2;29
3;85
4;89
5;145
6;42
7;20
8;4
9;16
10;37
11;58
12;89
13;145
14;42
15;20
16;4 |
gp > F(6)
1;36
2;45
3;41
4;17
5;50
6;25
7;29
8;85
9;89
10;145
11;42
12;20
13;4
14;16
15;37
16;58
17;89
18;145
19;42
20;20
21;4 |
gp > F(7)
1;49
2;97
3;130
4;10
5;1 |
gp > F(8)
1;64
2;52
3;29
4;85
5;89
6;145
7;42
8;20
9;4
10;16
11;37
12;58
13;89
14;145
15;42
16;20
17;4 |
gp > F(9)
1;81
2;65
3;61
4;37
5;58
6;89
7;145
8;42
9;20
10;4
11;16
12;37
13;58
14;89
15;145
16;42
17;20
18;4 |
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nが一桁なら1(明らか)、７だけが１に落ち着く。(逆に4が現れれば無限地獄)
数字の「７」が西洋において、一般的に幸運な数字として認識されていることから、７がこの
定義に合致して、7 分の１の確率でハッピー数が存在する、(確かに10^7位までの存在確率
は1/7に非常に近い。)という事実から、ある意味で自然なネーミングといえるのかもしれない。
(でもLucky 7 とは言うがHappy 7 とは言わないな〜)
そこで、
(1) さてnが100までにはこのHappy numbersとなれるものは何？
(2) 1000までの素数pで前のLucky numbersでもあり、このHappy numbersでもある、そんな
素数pって何?
(3) 実験してもらうと分かるがHappy numberとなれるnは飛び飛びに出現するが、たまに連
続するnで出現してくる場所もある。
<例> n=31==>10==>1 、n=32==>13==>10==>1
そこで、この様に連続するnでHappy number の出現が見られる最小のnを連続数3,4,5,6,7
（上の例は連続数2のもの)の各nを探してほしい。
らすかるさんからのコメントです。（令和８年８月１日付け）
数列サイトの番号で、 (1) A007770 、(2) A091432 、(3) A055629
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年８月２日付け）
らすかるさんの調査にピッタリです。特に、A055629には面白い数列が並んでおり、こんな
値をどうやって探すんだろうという謎が強力に残ります。
また、Lucky numbersでの数列の出方が素数を見つけ出す手段で使うエラトステネスの櫛
の手法に類似にていることから、素数でのゴールドバッハ予想としての“4以上の偶数は二つ
の素数の和で作れる"がそのまま"4以上の偶数は二つのLucky numberの和で作れる”とい
う予想に現れ、しかも真であると強力に感じられるも、その証明はなされていないことになっ
ている。
ふと疑問に思ってしまうことは世界中の誰かが既にちゃんと調査してしまっていることに
OEISを使うたびに痛切に感じてしまう。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年８月１１日付け）
10進数で表記された自然数が、表記の各digits和によって割り切れるとき、
そのnをハルシャド数と呼ぶことにする。
例 n=12->12/(1+2)=12/3=4 より、12はハルシャド数
n=13->13/(1+3)=13/4 なので、違う
n=99->99/(9+9)=99/18=11/2 なので、違う
n=1729->1729/(1+7+2+9)=1729/19=91 より、1729はハルシャド数
etc
そこで、
(1) ある自然数nから始めて連続した4個の自然数がすべてハルシャド数であるようなことが
起きる最小のnは何か？
(2) 同じく連続した5個の自然数がすべてハルシャド数となる最小のnは何か？
次に、
(3) どんな2桁の自然数から始めても、それに連続して並ぶk個の2桁の自然数が引き続い
て並んでいるとき、「そのk個の中には少なくとも1個のハルシャド数が存在する」ためには
kはいくつにしておけば良いか？
(4) 同じく、3桁の自然数である場合では、kを何にしておけば良いか？
(k個の数はすべて3桁の数とする。)
らすかるさんからのコメントです。（令和８年８月１１日付け）
問題の解釈とプログラムが合っていれば、
(1) 510
(2) 131052
連続6個、連続7個は 10000095
連続8個、連続9個は 124324220
(3) 10
(4) 18
4桁は36、5桁は54、6桁は88、7桁は99、8桁は126、9桁は150、10桁は258、11桁は276
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年８月１２日付け）
拡大した範囲での調査ありがとうございます。
(2)でちょうど6連続、ちょうど8連続で探せば何ですか？
(4)で更に桁を上げると何だろうな？と思っていたが、プログラムの組み方が出来ず未解決
のところ、こんな結果になるのですね。
らすかるさんからのコメントです。（令和８年８月１２日付け）
ちょうど6連続、ちょうど8連続に関しては記録を残していませんでしたので、あとは「A060159」
で。
20連続までしかないみたいですね。
# 「○連続以上」と考えた場合、10連続まで全部答えが「1」となってしまいますので、1桁は除
外して考えました。
以下、工事中！
