111111111 、333333333 、555555555 、777777777 、999999999
になるという。さて、各等式が成り立つ初項の自然数はそれぞれ何でしょうか？
手計算でこれらの値を求めて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（令和８年７月１４日付け）
111111111÷9=12345679は既知
(12345679-17)÷2=6172831 ← 111111111になる初項
これ以降は、222222222÷18=12345679を順次足せばよいので、
6172831+12345679=18518510 ← 333333333になる初項
18518510+12345679=30864189 ← 555555555になる初項
30864189+12345679=43209868 ← 777777777になる初項
43209868+12345679=55555547 ← 999999999になる初項
(追記) 最後の値が55555555に近いことから逆に考えると、以下の手順の方が計算が簡単
かも知れません。
18個の和が999999999になる自然数列を2個ずつ足して9個にすると、公差4の奇数列になる。
999999999÷9=111111111 なので、
999999999=111111095+111111099+111111103+111111107+111111111+111111115+111111119
+111111123+111111127
それぞれの奇数を隣接自然数の和にすると、55555555×2=111111110 であることから、
111111111=55555555+55555556、よって
111111107=55555553+55555554
111111103=55555551+55555552
111111099=55555549+55555550
111111095=55555547+55555548
111111115=55555557+55555558
111111119=55555559+55555560
111111123=55555561+55555562
111111127=55555563+55555564
のようになり、
999999999=55555547+55555548+55555549+…+55555564
となることがわかる。
他の数は、222222222÷18=12345679 を順次引けば求まる。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年７月１６日付け）
そこで今度は等差数列にある連続する18個の整数を並べてその合計を
222222222 、444444444 、666666666 、888888888
となるようにしたい。なるだけ小さい整数の公差で目的を遂げるには、それぞれの初項と公差
を何に設定しておけばよいか？
更に、初項を最も小さい正の整数で設定する場合、18個の整数でそれぞれの等式を成り
立たせる各公差(整数とする。)との組合せはどの様なものになるか？
らすかるさんからのコメントです。（令和８年７月１６日付け）
222222222: 222222222÷18=12345679だから中心(9個目と10個目の平均)を12345679に
する必要がある。ということは最小公差は2で初項は12345679-17=12345662 また最小初
項は、12345679-17[(12345679-1)÷17]=7、公差2[(12345679-1)÷17]=1452432
他も中心が整数だから最小公差はどれも2で、そのときの初項は、
444444444: 12345679×2-17=24691341
666666666: 12345679×3-17=37037020
888888888: 12345679×4-17=49382699
最小初項とそのときの公差は、
444444444: (12345679×2)-17[(12345679×2-1)÷17]=14、2[(12345679×2-1)÷17]=2904864
666666666: (12345679×3)-17[(12345679×3-1)÷17]=4、2[(12345679×3-1)÷17]=4357298
888888888: (12345679×4)-17[(12345679×4-1)÷17]=11、2[(12345679×4-1)÷17]=5809730
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年７月１６日付け）
初項を最小にした場合の[初項,公差]は、
111111111 ; [12,726215]
222222222 ; [7,1452432]
333333333 ; [2,2178649]
444444444 ; [14,2904864]
555555555 ; [9,3631081]
666666666 ; [4,4357298]
777777777 ; [16,5083513]
888888888 ; [11,5809730]
999999999 ; [6,6535947]
となり、初項は全部相異なることになりました。この初項の並びに何か法則性は無いのか
探っていたら、
17-5=12
17-(5+5)=7
17-(5+5*2)=2
17-3=14
17-(3+5)=9
17-(3+5*2)=4
17-1=16
17-(1+5)=11
17-(1+5*2)=6
(苦しい)
他に何か規則はあるのか？
らすかるさんからのコメントです。（令和８年７月１７日付け）
111111111を17で割った余りは 12
222222222を17で割った余りは 7
333333333を17で割った余りは 2
444444444を17で割った余りは 14
555555555を17で割った余りは 9
666666666を17で割った余りは 4
777777777を17で割った余りは 16
888888888を17で割った余りは 11
999999999を17で割った余りは 6
のようになっていますので、
n=11111111,222222222,333333333,…として、
f(n)=n-17[n/17] とか f(n)=17arctan(tan((n+9)π/17))/π+8
などのようには表せますが、そういうことでしょうか。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年７月１７日付け）
111111111を17で割った余りは 12
222222222を17で割った余りは 7
333333333を17で割った余りは 2
444444444を17で割った余りは 14
555555555を17で割った余りは 9
666666666を17で割った余りは 4
777777777を17で割った余りは 16
888888888を17で割った余りは 11
999999999を17で割った余りは 6
何か17が関係しているなと思っていたんですが、は〜これなんだ！疑問は誰かに聞いてみ
るもんだ。18個の整数は等間隔で17個開いているんですものね。
以下、工事中！
