今日、横浜での出張先で次の問題が話題になった。
ｌｏｇ７ と比べて最も近い数は、ｌｏｇ６ と ｌｏｇ８ のうち、どれか？
対数表を持ち出して、
ｌｏｇ６＝０．７７８２ 、ｌｏｇ７＝０．８４５１ 、ｌｏｇ８＝０．９０３１
から、 ｌｏｇ７−ｌｏｇ６＝０．０６６９ 、 ｌｏｇ８−ｌｏｇ７＝０．０５８０ なので、
ｌｏｇ７ に最も近い数は、 ｌｏｇ８ の方である
とするのでは、あまりにも味気なく芸がない。
上記の問題の眼目は、「直感的にどちらか？」を聞いているところだろう。
私自身、この問題を聞いて咄嗟に頭に浮かんだ方法は、グラフを活用するものである。
ｙ＝ｌｏｇ10ｘ は、上に凸の関数なので、ｘ 軸の正の方向にいくにしたがって、勾配が緩や
かになる。そのことがグラフをイメージすることによって直ちに分かる。
だから、対数表を使うまでもなく、ｌｏｇ８ の方が ｌｏｇ７ に最も近いということが分かる。
ただ、グラフを用いる場合は、凸関数という解析的な性質を用いているので、高校生にと
っては少し荷が重いかもしれない。
次のように軽妙に計算する方が、この問題の解法としては適切かもしれない。
（解） （ｌｏｇ７−ｌｏｇ６）−（ｌｏｇ８−ｌｏｇ７）＝２ｌｏｇ７−（ｌｏｇ６＋ｌｏｇ８）＝ｌｏｇ４９−ｌｏｇ４８＞０
よって、 ｌｏｇ７−ｌｏｇ６ ＞ ｌｏｇ８−ｌｏｇ７ となり、ｌｏｇ８ の方が ｌｏｇ７ に最も近い。（終）
上記の計算から、次のことが一般的に成り立つことが分かる。
連続する３つの自然数 Ａ 、Ｂ 、Ｃ （Ａ＜Ｂ＜Ｃ） について、
ｌｏｇＡ よりも、ｌｏｇＣ の方が、ｌｏｇＢ の値に最も近い
（証） Ａ＝ｎ−１ 、Ｂ＝ｎ 、Ｃ＝ｎ＋１ において、
Ｂ2−ＡＣ＝ｎ2−（ｎ−１）（ｎ＋１）＝１＞０
なので、 常に、 ｌｏｇＢ−ｌｏｇＡ ＞ ｌｏｇＣ−ｌｏｇＢ が成り立つ。 （終）
