θ回転して再び重ねる。２枚の折り紙が重なる部分の図形をPとするとき、Pの面積を表す
式を作って欲しい。
さらに、その式からそれを sin、cos、tan 単独の関数だけを使って表す式を作ってみて下
さい。
ただし、sin(θ)だけでなく、sin(2*θ)、sin(θ/2)などが混在していても構いません。
(0＜θ＜π/2に限るとします)
らすかるさんからのコメントです。（令和７年１１月１９日付け）
とりあえず、
P = 2a^2/(1+(√2)sin(θ+π/4))＝2a^2/(1+(√2)cos(θ-π/4))
で合ってますかね？
# 何か記憶にあるな〜と思ったのですが、ちょっと前に計算したのは正三角形の場合で、
一辺がaの正三角形のときは
(√3/2)a^2/(1+2sin(θ+π/6)) ＝(√3/2)a^2/(1+2cos(θ-π/3))
でした。式が似てるので「正n角形」でもいけそうですね。
(追記) ２式から推測すると、正ｎ角形の場合は、
(一辺がaの正n角形の面積)×2÷(1+cos(θ-π/n)/cos(π/n)) （ただし、0≦θ≦2π/n）
ぐらいになるのかな？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年１１月１９日付け）
ピタリ一致します。最初、座標に載せてがむしゃら結構複雑な計算を進めて手に入れたの
が、
P=a^2*(sinθ+cosθ-1)/(sinθ*cosθ)
でした。この分子、分母に sinθ+cosθ+1 を掛けて変形していくと、
P1=2*a^2/(sinθ+cosθ+1)
の形となり、分母を合成することでらすかるさんの式となります。
なお、sin、cosに使う角度をθに拘れば、
P2=2*a^2*(sinθ-2*sin^2(θ/2))/sin(2*θ)
P3=a^2/cosθ*(1-sqrt((1-cosθ)/(1+cosθ)))
また、tan だけを使って、
P4=a^2*(1+tan^2(θ/2))/(1+tan(θ/2))
なども同じ数値を与えてくれました。
これから、正ｎ角形の場合を考察できるとは思ってもいませんでした。ただ、これを確認す
る手段が私には無理です。
らすかるさんからのコメントです。（令和７年１１月１９日付け）
正ｎ角形の場合は、上の式で正しかったようです。
sshmathgeom.private.coocan.jp/volume/volume27.html
↑こちらのページ(の例題3の下の方)に一辺が1の正n角形の場合の式が
n(sin(α/2))^2/(sinθ+sin(α+θ)+sinα) （ただし、αは内角すなわちπ-2π/n）
であると書かれており、これを変形すると、
(n/2)cot(π/n)/(1+cos(θ-π/n)/cos(π/n))
となります。一方私の書いた式の「一辺がaの正n角形の面積」は、a=1とすると(n/4)cot(π/n)
となりますので、ピタリ一致しました。
ちなみに私が正方形の場合の式を出した方法は、
正方形の一辺を2として重なる部分の八角形の1/8の三角形の形を図形的に考察すると、
これはxy平面において、xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=0 と y=x で作られる三角形と同じで
あることがわかり、
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=0 との交点は (1/cos(θ/2),0)
→ 原点からの距離は 1/cos(θ/2)
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=x との交点は (1/(cos(θ/2)+sin(θ/2)),1/(cos(θ/2)+sin(θ/2)))
→ 原点からの距離は √2/(cos(θ/2)+sin(θ/2))=1/cos(θ/2-π/4)
よって、求める面積は、
8・1/cos(θ/2)・1/cos(θ/2-π/4)・sin(π/4)・(1/2)=2√2/(cos(θ/2)cos(θ/2-π/4))
これは正方形の一辺が2の場合なので、一辺がaならば、
a^2/√2・1/(cos(θ/2)cos(θ/2-π/4))
=a^2/√2・1/(cos(θ-π/4)+cos(π/4))
=2a^2/(1+(√2)cos(θ-π/4))
のように導出しました。
以下、工事中！
