の頂点がすべてPと重なる様にする。折り曲げられた図形が六辺形となる様なPの存在
範囲の境界線を含めたその図形の面積を明示的な式で表して下さい。
（２） 三角形の３辺が 7、9、10(cm) であるもので同様なことをした時、その面積は如何ほど
になるか？これは明示的に示すのは困難に思われますので、その数値を小数第５位を
四捨五入することで小数第４位までの数値で示して下さい。
(手段は何を使われても結構です。）
DD++ さんからのコメントです。（令和７年１１月３日付け）
境界線上が厳密には含まれないことは気にしないということでいいんですかね？
（１） S = (25/2)π - (25/2)√3
鋭角三角形の場合、各辺を直径とする３つの円全ての内部になります。よって、半径５、中
心角π/3の扇形を３つ足して、1辺５の正三角形を２回引けばよいです。
（２） 手段は何を使ってもいいそうなので、計算方法を教えてchatGPTに計算してもらった結
果、
S = (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*pi) - 3*sqrt(26)
= 11.0678
だそうで。（あまり信頼はしていない）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年１１月３日付け）
共に正解です。（１）は何度も紙を折って実験していてやっとのことで気付けました。特に、
（２）は自分で適当に数値を指定して、座標で三角形を配置しシコシコと計算を繰り返して、
結構面倒な作業を組み合わせていきました。
てっきりこんな面倒な値を一つの式で表せるとは思ってもみなかったのですが、chatGTPで
は、こんな返事も返してくるんですか？
まさにこの式を計算させてみたらあれだけ時間をかけてやっと辿り着いた値に小数第何位
までもピタリと一致するではないですか！恐るべしGTP。だれかこの公式を説明してくれませ
んか？
DD++ さんからのコメントです。（令和７年１１月３日付け）
お、合ってましたか、chatGPTもなかなかやりますね。
折った後が六角形になるということは、元々の３つの辺それぞれ、一部が外周として残らね
ばなりません。
辺ABの一部が六角形でも辺として残る
⇔線分PAとPBの垂直二等分線が辺ABの外で交わる
⇔△PABの外心が辺ABの外にある
⇔∠APBが鈍角
⇔点Pが辺ABを直径とする円の内部にある
ということなので、各辺を直径とする円を３つ描いて、それら全ての内部かつ三角形の内部で
ある領域が点Pの存在範囲です。
それらの３円すべての内部にある範囲は、辺が膨らんだ三角形モドキDEFみたいな形をし
ており、その３頂点D、E、Fは△ABCの各頂点から向かいの辺に引いた垂線の足の位置に
あります。
△ABCが鋭角三角形の場合は、図形的に考えれば、三角形モドキDEFは膨らみ分まで
△ABCの中に完全に収まります。
ということで、最終的に求めるべきは三角形モドキDEFの面積です。
これは、
(i) △DEFの面積を出す（△ABCの1/4)
(ii) 辺DEから膨らんだ部分の面積を出す（扇形から二等辺三角形を引く）
(iii) 辺EFから膨らんだ部分の面積を出す
(iv) 辺FDから膨らんだ部分の面積を出す
(v) これら4つを合計する
で可能です。
(1)は自分でやり、(2)はこの手順をchatGPTに指示してやってもらいました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年１１月３日付け）
このやり方で自分なりに求めた時、あえて一つの式で表すと
gp > 748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))
%577 = 11.0677912894652773427086973960
但し、
c1=acos(-17/225) ; c2=acos(647/1225) ; c3=acos(391/441);
とします。なおGTPからの式
gp > (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)
%578 = 11.0677912894652773427086973960
で全く同じ値が出ます。
膨らんだ部分を出す時に角度が公式に使われている∠A、∠B、∠Cの部分だけで済まさ
れているのが不思議でなりません。
DD++ さんからのコメントです。（令和７年１１月４日付け）
まず、sin(c1)などは、cos(c1)がわかっているのだから求められますね。
acosの中身の違いは、1-2*(5/21)^2 = 391/441などの関係が成り立つことから、おそらく
「扇形の中心角を半分にして直角三角形で求める」か「余弦定理で求める」かの違いが出て
いるのかなと思います。
あとは、c1+c2+c3=πになる関係を使って、chatGPTは謎の変形を最後にしたようですね。
π消すとかすればいいのに。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和７年１１月４日付け）
748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))･･･････････(*)
ただし、c1=acos(-17/225) ; c2=acos(647/1225) ; c3=acos(391/441);
(1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)･････(**)
(*)から(**)を導く
{*)式での
c1=acos(-17/225)=acos(1-2*(11/15)^2)=acos(-(2*(11/15)^2-1))=Pi-acos(2*(11/15)^2-1)･･･①
ここで、△ABCで、 cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)=(10^2+9^2-7^2)/(2*10*9)=11/15
よって、C=acos(11/15)
ここに、2倍角の公式で、 cos(2*θ)=(cos(θ))^2-1 より、①は、c1=Pi-acos(cos(2*C))=Pi-2*C
また、sin(c1)=sin(Pi-2*C)=sin(2*C) から、c1-sin(c1)=Pi-2*C-sin(2*C)
同様にして、c2-sin(c2)=Pi-2*B-sin(2*B) 、c3-sin(c3)=Pi-2*A-sin(2*A)
以上から、
(*)=748/735*sqrt(26)+1/8*(49*(Pi-2*C-sin(2*C))+81*(Pi-2*B-sin(2*B))+100*(Pi-2*A-sin(2*A)))
=748/735*sqrt(26)+1/8*(230*Pi-49*(2*C+sin(2*C))-81*(2*B+sin(2*B))-100*(2*A+sin(2*A)))
=748/735*sqrt(26)+115/4*Pi-230/4*Pi+230/4*Pi+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)+115/4*Pi-230/4*Pi+460/8*Pi+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26) -115/4*Pi+460/8*(A+B+C)+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/8*((460-98)*C+(460-162)*B+(460-200)*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/8*(362*C+298*B+260*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/4*(181*C+149*B+130*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
さて、いよいよ最後の( )の部分は、
49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A)
=98*sin(C)*cos(C)+162*sin(B)*cos(B)+200*sin(A)*cos(A)
=98*sqrt(1-(11/15)^2)*11/15+162*sqrt(1-(17/35)^2)*17/35+200*sqrt(1-(5/21)^2)*(5/21)
=98*2/15*sqrt(26)*11/15+162*6/35*sqrt(26)*17/35+200*4/21*sqrt(26)*5/21
=(98*2*11/(15*15)+162*6*17/(35*35)+200*4*5/(21*21))*sqrt(26)
=23624/735*sqrt(26)
従って、sqrt(26)の部分を整理すると、(748/735-1/8*23624/735)*sqrt(26)=-3*sqrt(26)
これを改めて整理すれば、
(*)=1/4*(130*A+149*B+181*C-115*Pi)-3*sqrt(26)
=1/4*(130*acos(5/21)+149*acos(17/35)+181*acos(11/15)-115*Pi)-3*sqrt(26)=(**)
やっと理解できました。
以下、工事中！
